雙勾函數與基本不等式

■北京八十中雄安校區 王立彬

我們已經學習了基本不等式，知道它的適用范圍和條件是“一正、二定、三相等”。但在解決一些實際問題時，我們還需要認識基本不等式與雙勾函數之間的關系。

例1設函數

(1)當a=2時，求函數f(x)的最小值；

(2)當0＜a＜1時，求函數f(x)的最小值。

解析：(1)把a=2代入f(x)=x+，得-1，因為x＞0，所以，所以，當且僅當x+1=，即時，f(x)取等號，此時

(2)當0＜a＜1時-1，令t=x+1，得前面我們已經分析了此函數為雙勾函數的平移函數，在區間[1，+∞)上單調遞增，當t=1時，函數取得最小值，即f(x)min=a。

總結：(1)若利用基本不等式解決最小值問題，需要將函數配湊，并通過還原得到雙勾函數的形式。然后利用基本不等式的定積求和的形式求最小值，此時要注明等號成立的條件。(2)在配湊以后，如果用基本不等式1來解決，我們發現等號在時成立，不滿足x＞0的條件。利用已經分析的雙勾函數圖像特點，我們可以清楚地發現問題的原因，應用基本不等式解決函數f(t)=的最值，需要在定義域內，或者說，用基本不等式求得的最小值，是雙勾函數在區間(0，+∞)內的極值點。

例2當x＞-1時，求f(x)=的最小值。

解析：整理，因為x＞-1，所以x+1＞0，所以，當且僅當，即x=5-1時等號成立，此時

總結：解決此類函數問題經常要利用拆項、添項、配湊、分離、減少變元等方法，構造函數為的形式來解題，并且等號成立時要在定義域范圍內取到。

例3求函數的最小值。

解析，令得≥2)，對函數求導得，當t≥2時，f′(t)≥0恒成立。所以函數f(t)=t+在區間[2，+∞)上單調遞增，當t=2時，函數取得最小值，所以f(x)min

總結：通過構造函數后，我們分析題中的條件為t≥2，等號成立的條件t=1不在定義域范圍內，所以我們需要另辟蹊徑通過函數求導的方法，利用函數的單調性來解決問題。

例4求函數0)的最大值。

解析：整理，因為x＞0，所以，當且僅當x=2時等號成立，所以即

總結：有一部分同學經常會把例4這種題型，和分離變量的問題弄混，本題中的原函數的分子冪次低于分母冪次，所以同時除以分子，此時分子為常數，分母構造為對勾函數的形式。為了方便理解，我們舉例f(x)=整理為f(x)=，分子、分母同除以x+1得分母可構造為雙勾函數。例5求函數0)的最大值。

解析：因為x＜0，所以-x＞0，所以當且僅當-3x=，即時等號成立，所以3x+，即f(x)，得

總結：當自變量x為負值，不滿足“一正”時，可以通過提取負號滿足條件，應用基本不等式，結合用導數對函數單調性分析，我們也可以清楚知道，雙勾函數在(-∞，0)上有極大值，用基本不等式求得的最值點，就是雙勾函數在區間(-∞，0)上的極大值點。

例6已知2x+8y=x y(x＞0，y＞0)，求x+y的最小值。

解析：由x＞0，y＞0，等式2x+8y=x y兩邊同乘以，所以x+y=8，所以x+y的最小值為8。

總結：首先需要將等式2x+8y=x y變形整理為的形式，等式右側要求是常數1，再與x+y相乘，當令時，則，所以本題實際上也是對勾函數求最值問題。我們也可以將2x+8y=x y變形為，通過減元來求解問題。