賞析2019 年高考解三角形經典問題

■江蘇省江都中學 俞 新

2019年高考解三角形主要圍繞“三角形中的隱含條件、正余弦定理、三角形的面積公式、三角變換、三角形中的最值與范圍”等熱點問題展開的，凸顯目標意識下的“等價轉化”思想的具體應用。

一、利用三角形中的隱含條件和正弦定理求解三角形

例1(2019年高考全國Ⅱ卷文15)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知bsinA+acosB=0，則

解析：邊角滿足齊次式，根據正弦定理把邊化為角，利用輔助角公式化為一個角的三角函數，結合角的隱含條件定角。由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0。因為A，所以，得sinB，所以，所以故選D。

品味：在△ABC中外接圓半徑)，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，利用正弦定理可以求出其他的邊和角。如果遇到等式中含有角的正弦或邊的一次式或二次時，用正弦定理“邊化角化為一個角的三角函數求解”；注意A+B+C=π這個隱含條件，用誘導公式可以降元或變名稱。

二、利用三角變換和余弦定理求解三角形

例2(2019年高考北京卷文15)在△ABC中

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B+C)的值。

解析：(1)借助余弦定理構建方程代入已知條件求b，c的值。由余弦定理可得cosB，因為a=3，代入化簡整理得c2-b2+3c+9=0。因為b-c=2，所以b=c+2，代入解得

(2)注意內角和這個隱含條件，借助余弦定理求解。由(1)知a=3，b=7，c=5，所以因為A為△ABC的內角，所以所以

品味：三角形中的三角變換主要涉及和差角公式、誘導公式和同角關系的應用等，關鍵在于合理選擇正余弦定理變角化統一。已知三邊(即S S S)或兩邊及一角(即S A S、S S A)時常使用余弦定理，其中已知S A S時，直接使用余弦定理；已知S S A時，既可用正弦定理，也可用余弦定理。如果式子中含有角的余弦或邊的二次齊次式時，常常借助三角形面積和余弦定理溝通a+c、a c、a2+c2、b之間的關系。

三、正余弦定理聯合使用求解三角形

例3(2019年高考江蘇卷15)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c。(1)若，求c的值；(2)若，求的值。

解析：(1)利用余弦定理構建關于c的方程求根。因為，由余弦定理，即，所以

(2)結合正弦定理和同角三角關系求得cosB，再利用誘導公式求解。因為，由正弦定理所以從而cos2B=(2 sinB)2，即cos2B=4(1-cos2B)，故cos2B因為sinB＞0，所以cosB=2 sinB＞0，從而因此

品味：有關解三角形的問題，涉及正余弦定理、同角三角函數關系式、誘導公式等的靈活應用，在解題的過程中，要時刻關注題設條件和目標意識，合理尋求簡捷的途徑，如(2)中由cosB=2 sinB可求得t a nB=2，所以

四、三角形面積與正余弦定理的交匯

例4(2019年高考全國Ⅱ卷理15)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若，則△ABC的面積為

解析：應用余弦定理和題設，建立關于c的方程求a，c，應用三角形面積公式計算。由余弦定理得b2=a2+c2-2a ccosB，所以，即c2=12，解得(舍去)，所以a=2c=，所以

品味：最常用的三角形面積公式有S=B，因為公式中既有邊又有角，最容易和正余弦定理聯系起來解決問題。

五、三角形中的三角變換

例5(2019年高考天津卷文16)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。已知b+c=2a，3csinB=4asinC。

(1)求cosB的值；

解析：(1)利用正弦定理和題設得到三邊比值，用余弦定理求角。在△ABC中，由正弦定理，得

又因為b+c=2a，得到

(2)利用二倍角公式、和差角公式及同角關系求三角函數值。

品味：高考中經常將三角變換與解三角形綜合起來命題，關鍵是正余弦定理的靈活應用，涉及的三角變換主要是“變角、變函數名和變運算結構”，核心是“變角”，彌補角之間結構差異的依據就是三角公式。