數列創新題追根溯源

■河南省平輿縣第一高級中學 楊國松

編者提醒：河南省平輿縣第一高級中學是全國中學名校，本刊本期特約該校的多位一線名師，詳細講解三角函數、平面向量、數列、不等式專題的考點、題型，精心命制核心考點演練試卷，盼讀者認真讀一讀，練一練，能收獲滿滿喲!

近幾年，為了考查同學們在新的問題情景下知識的遷移、創新能力，各地的高考模擬題和高考試題中出現了不受大綱字句的約束，而所考查的內容大體在高中數學范圍內的問題，我們稱其為創新型問題。創新型試題編制的情景新穎，突出考查同學們靈活運用所學知識的能力，全面考查數學知識的掌握和運用情況，以及分析與解決問題的能力和思維的靈活性、深刻性、技巧性等，涉及的數學思想方法有從一般到特殊或從特殊到一般的思想、函數與方程的思想、探索性思想等。

例1定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M—數列”。

(1)已知等比數列{an}(n∈N*)滿足：a2a4=a5，a3-4a2+4a1=0，求證：數列{an}為“M—數列”。

(2)已知數列{bn}(n∈N*)滿足：b1=1，其中S為數列{b}的前n nn項和。

①求數列{bn}的通項公式；

②設m為正整數，若存在“M—數列”{cn}(n∈N*)，對任意正整數k，當k≤m時，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值。

解析：(1)設等比數列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0。

因此數列{an}為“M—數列”。

由b1=1，S1=b1，得，則b2=2。

當n≥2時，由bn=Sn-Sn-1，得bn=，整理得b+n+1bn-1=2bn。

所以數列{bn}是首項和公差均為1的等差數列。

因此，數列{bn}的通項公式為bn=n(n∈N*)。

②由①知，bk=k，k∈N*。

因為數列{cn}為“M—數列”，設公比為q，所以c1=1，q＞0。

因為ck≤bk≤ck+1，所以qk-1≤k≤qk，其中k=1，2，3，…，m。

當k=1時，有q≥1；

當k=2，3，…，m時，有恒成立。

令f′(x)=0，得x=e。

所以f′(x)、f(x)在x∈(1，+∞)上的變化情況如表1所示。

因為3≤x≤m，所以h′(x)＜0，故h(x)在[3，m]上單調遞減。

所以t(m)在[3，+∞)上單調遞減。

所以m的最大值為5，此時q∈

點評：本題主要考查等差和等比數列的定義、通項公式、性質等基礎知識，考查代數推理、轉化與化歸，以及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力。

練習1：在m(m≥2)個不同數的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時，Pi＞Pj(即前面某數大于后面某數)，則稱Pi與Pj構成一個逆序。一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數。記排列(n+1)n(n-1)…321的逆序數為an，如排列21的逆序數a1=1，排列321的逆序數a2=3，排列4321的逆序數a3=6。

(1)求a4、a5，并寫出an的表達式；

解析：利用逆序數的定義得到an的表達式。

(1)由已知得a4=10，a5=15，an=n+

綜上，2n＜b1+b2+…+bn＜2n+3，n=1，2，…。

點評：“新定義”主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新定義，這樣有助于對新定義的透徹理解。但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶。

例2設{an}是等差數列，{bn}是等比數列。已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4。

(1)求{an}和{bn}的通項公式。

(2)設 數列 {cn}滿 足c1=1，cn=其中k∈N*。

解析：(1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q。

故an=4+(n-1)×3=3n+1，bn=6×2n-1=3×2n。

所以{an}的通項公式為an=3n+1，{bn}的通項公式為bn=3×2n。

=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n∈N*)。

點評：本題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識。考查化歸與轉化思想、數列求和的基本方法及運算求解能力。

練習2：已知數列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bnan-4。

(1)證明：{an+bn}是等比數列，{anbn}是等差數列；

(2)求{an}和{bn}的通項公式。

解析：(1)由題設得4(an+1+bn+1)=2(an

又因為a1+b1=1，所以{an+bn}是首項為1，公比為的等比數列。

由題設得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8，即an+1-bn+1=an-bn+2。

又因為a1-b1=1，所以{an-bn}是首項為1，公差為2的等差數列。

例3在數列{an}中

(1)試比較anan+2與的大小；

解析：(1)由題設知，對任意n∈N*，都有an＞0。

當n≥3時

所以an=a3+(a4-a3)+(a5-a4)+…

點評：此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法證明；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數的增加與減少等手段達到證明的目的；(4)數學歸納法。

練習3：已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段A B的中點為M(1，m)(m＞0)。

(2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且證明成等差數列，并求該數列的公差。

解析：(1)設，則，兩式相減，并由

(2)由題意得F(1，0)，設P(x3，y3)，則(x3-1，y3)+(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(0，0)。

由(1)及題設得x3=3-(x1+x2)=1，y3=-(y1+y2)=-2m＜0。

又點P在C上，所以，從而

設該數列的公差為d，由題意可得2|d|

所以l的方程為，代入C的方程，并整理得

點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關系、等差數列的性質，第(1)問利用點差法，設而不求可減小計算量，第(2)問由已知得到求出m得到直線方程很關鍵，考查了函數與方程的思想，還考查同學們的計算能力，難度較大。