例說(shuō)三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯

■河南省平輿縣第一高級(jí)中學(xué) 裴繼東

近幾年全國(guó)各地高考試題逐漸強(qiáng)調(diào)考查創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)調(diào)理論與實(shí)踐相統(tǒng)一。一些新穎的試題背景、試題類(lèi)型在近幾年的試卷中從無(wú)到有，從零星到常見(jiàn)，從粗糙到精致，這些變化都體現(xiàn)了高考命題在有意識(shí)地將新課程的理念落實(shí)到高考試題中去。

一、三角函數(shù)與平面向量交匯

例1已知a=(53 cosx，cosx)，b=(sinx，2 cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=a·b+|b|2

(3)將函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移π 12個(gè)單位，再將得到的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)向下平移5個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)的表達(dá)式并判斷奇偶性。

分析：第(1)(2)小題將f(x)化為y=Asin(ω x+φ)+b(ω＞0，A＞0)的形式后，再求函數(shù)的值域；第(3)小題要得到函數(shù)y=g(x)的解析式可通過(guò)函數(shù)y=f(x)的圖像平移變換得出，再根據(jù)定義判斷函數(shù)y=g(x)的奇偶性即可。

解：(1)f(x)=53 sinxcosx+2 cos2x所以f(x)的值域?yàn)閯t，所以

又g(-x)=5 sin(-2x)=-5 sin2x=-g(x)，故g(x)為奇函數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：本題中剝?nèi)テ矫嫦蛄康耐庖拢瑢?shí)際上是考查三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，同時(shí)還考查了函數(shù)圖像的平移變換，要判斷函數(shù)的奇偶性常常是根據(jù)定義進(jìn)行。

二、三角函數(shù)與平面幾何交匯

例2已知函數(shù)y=Asin(2x+θ)，其中

(1)若函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)如圖1，M、N是函數(shù)y=f(x)的圖像在y軸兩側(cè)與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，函數(shù)圖像上的點(diǎn)，求函數(shù)f(x)的最大值。

圖1

分析：(1)由函數(shù)f(x)的圖像過(guò)兩點(diǎn)，列方程組，求出函數(shù)f(x)的解析式；(2)結(jié)合平面幾何知識(shí)先求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再由平面向量的數(shù)量積求出A的值。

解：(1)由得，展開(kāi)整理可得，由可得A=2，所以

(2)過(guò)點(diǎn)P作P C垂直x軸于點(diǎn)C，令f(x)=Asin(2x+θ)=0，則2x+θ=kπ，k∈Z。因?yàn)镸、N兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，所以

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)與平面幾何結(jié)合是近幾年出現(xiàn)的熱點(diǎn)，此類(lèi)試題常常要由已知條件求圖像中的有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)三角函數(shù)圖像的周期、與x軸的交點(diǎn)和三角形中的邊角關(guān)系求解點(diǎn)的坐標(biāo)。本題第(1)小題已知兩點(diǎn)求函數(shù)f(x)的解析式，關(guān)鍵是正確求出A，θ，但其求解過(guò)程平中見(jiàn)奇。第(2)小題中求函數(shù)f(x)的最大值實(shí)質(zhì)是求A的值。

三、三角函數(shù)與數(shù)列交匯

例3若函數(shù)f(x)=3cos2ω x-的圖像與直線(xiàn)y=m(m＞0)相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列。

(1)求ω和m的值；

(2)在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，若是函數(shù)f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，且a=4，求△ABC外接圓的面積。

分析：(1)根據(jù)二倍角公式及輔助角公式把函數(shù)解析式化簡(jiǎn)成y=Asin(ω x+φ)的形式，再結(jié)合數(shù)列知識(shí)，求出ω和m的值；(2)先求A再根據(jù)正弦定理求R，從而求出三角形外接圓的面積。

解：(1)f(x)=3cos2ω x-sinω x·由題意知，函數(shù)f(x)的周期為π，且最大值為m，所以ω=1，m=1。

是△ABC的內(nèi)角，所以中，設(shè)外接圓半徑為R，由所以△ABC外接圓的面積

點(diǎn)評(píng)：本題中直線(xiàn)y=m與函數(shù)y=f(x)的圖像相切，由數(shù)列知識(shí)可得出函數(shù)f(x)的周期，在△ABC中，通過(guò)點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱(chēng)中心，巧妙地將三角函數(shù)過(guò)渡到解斜三角形。高考題中的很多三角函數(shù)題型都有類(lèi)似的表現(xiàn)手法，回味無(wú)窮。

四、三角函數(shù)與解析幾何交匯

例4已知橢圓0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，A為上頂點(diǎn)，△A F1F2為正三角形，以A F2為直徑的圓與直線(xiàn)y=3x+2相切。

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，點(diǎn)(a，b)在直線(xiàn)x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上，若a，b的長(zhǎng)恰為橢圓中的a，b的值，求△ABC的面積。

分析：(1)先根據(jù)△A F1F2為正三角形，找出a，b，c的關(guān)系式，并由直線(xiàn)與圓相切得出a，b，c的另一個(gè)關(guān)系式，以此建立方程組可求出橢圓方程；(2)由正弦定理、余弦定理求出角C，然后計(jì)算△ABC的面積。

解：(1由A(0，b)，F(xiàn)2(c，0)，得A F2的中點(diǎn)解得a2=4，b2=3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

又因?yàn)?＜C＜π，所以

所以△ABC的面積

點(diǎn)評(píng)：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要有定義法、待定系數(shù)法，有時(shí)還可根據(jù)條件用代入法等，一般應(yīng)由已知條件建立關(guān)于a，b，c的方程組，求出a2，b2，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用正弦定理或余弦定理通常可把邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系或邊邊關(guān)系，第(2)小題求角C時(shí)運(yùn)用了整體代換思想。

五、三角函數(shù)與不等式交匯

例5已知是函數(shù)f(x)=的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)。

分析：(1)利用二倍角公式，輔助關(guān)系式把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為“一角一名一次”的形式，再求值；(2)由絕對(duì)值不等式和函數(shù)的恒成立問(wèn)題求出f(x)的最值，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)m的取值范圍。

由題意知T=π，|ω|=1，因?yàn)棣兀?，所以所以

(2)|f(x)-m|≤1，即f(x)-1≤m≤f(x)+1。

所以m的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)：此題中求解三角函數(shù)不等式的問(wèn)題，在近幾年全國(guó)各省份的高考試題中很少出現(xiàn)，是一個(gè)較偏的知識(shí)點(diǎn)，關(guān)于含參數(shù)不等式恒成立的題目，用到兩個(gè)結(jié)論：m＞f(x)恒成立?m＞f(x)max；m＜f(x)恒成立?m＜f(x)min。