歸納數列中常見的易錯題型

■河南省平輿縣第一高級中學 李合舉

一、數列概念理解不透，由Sn求an時忽略n=1的情況

對于數列an與Sn之間有如下關系：an利用兩者之間的關系可以已知Sn求an。但注意只有在當a1適合an=Sn-Sn-1(n≥2)時兩者才可以合并，否則要寫成分段函數的形式。

例1已知數列{an}的前n項之和Sn=a qn(a≠0，q≠1，q為非零常數)，則{an}為( )。

A.等差數列

B.等比數列

C.既不是等差數列，也不是等比數列

D.既是等差數列，又是等比數列

錯解：因為an+1=Sn+1-Sn=a qn+1-a qn=a qn(q-1)，所以an=Sn-Sn-1=a qn-1(q-1)，所以(常數)，所以{a}為等比n數列。故選B。

錯因分析：錯解中忽略了an=Sn-Sn-1時的隱含條件n＞1。

正解：當n=1時，a1=S1=a q；當n≥2時，所以q(常數)，但因為，所以{an}既不是等差數列，也不是等比數列。故選C。

同類題型：已知數列{an}的前n項之和為Sn=n2+n+1，則數列{an}的通項公式為

解析：當n=1時，a1=S1=3；

當n≥2時，an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n。

二、忽視對等比數列中公比的分類討論

等比數列求和公式應用時要對q=1，q≠1討論。

例2設等比數列{an}的前n項和為Sn。若S3+S6=2S9，求數列{an}的公比q。

錯解：因 為S3+S6=2S9，所 以，整理得q3(2q6-q3-1)=0。

由q≠0得方程2q6-q3-1=0，所以，所以或q=1。

錯因分析：在錯解中，由，整理得q3(2q6-q3-1)=0時，應有a1≠0和q≠1。在等比數列中，a1≠0是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進行整理變形。

正解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，與題設矛盾，故q≠1。

同類題型：在數列{an}中，a1=1，a2=2，數列{anan+1}是公比為q(q＞0)的等比數列，則數列{an}的前2n項和

解析：因為數列{anan+1}是公比為q(q＞0)的等比數列，所以，即這表明數列{an}的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是q。

又a1=1，a2=2，當q≠1時，S2n=a1+

當q=1時，S2n=a1+a2+a3+a4+…

三、利用函數知識求解數列相關問題時易忽略其定義域是正整數集或其子集

例3等差數列{an}的首項a1＞0，前n項和為Sn，當l≠m時，Sm=Sl。問：當n為何值時Sn最大?

易錯點分析：等差數列的前n項和是關于n的二次函數，可將問題轉化為求解關于n的二次函數的最大值，但易忘記此二次函數的定義域為正整數集這個限制條件。

解析：由題意知Sn=f(n)=n a1+，此函數是以n為變量的二次函數。因為a1＞0，當l≠m時，Sm=Sl，故d＜0，即此二次函數開口向下。由f(l)=f(m)知，當時，f(x)取得最大值，但由于n∈N*，故若l+m為偶數，當時，S最大。若ln+m為奇數，當時，Sn最大。

同類題型：設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0。

(1)求公差d的取值范圍；

(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由。

易錯點分析：(1)依據S12＞0，S13＜0，直接列方程求解d的范圍即可；(2)判斷出轉折項即可找出前n項和的最大值。無論應用二次函數求最值，還是利用找轉折項求最值，兩種方法都具有一般性，但需要注意的是，利用二次函數求最值時，要注意n只能取正整數，找轉折項可以利用通項公式解不等式，但是計算比較煩瑣，這時可以合理選擇應用數列的性質，以簡化運算和判斷。

解析：(1)依題意，有S12=12a1+

由a3=12，得a1=12-2d。 ③

(2)由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得an＞0，an+1＜0，則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值。由于S12=6(a6+a7)＞0，S13=13a7＜0，即a6+a7＞0，a7＜0，由此得a6＞-a7＞0。因為a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大。

四、使用累加、累乘及相消法求和時，要正確辨別剩余項，以免出錯

例4求的值。

易錯點分析：本題解答時，若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次，在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項的規律不清而導致解題失誤。“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個(也可三個或更多)數相乘，且這兩個數的第一個數是前一項的第二個數，如果不具備這些特點，就要進行轉化。同時要明確消項的規律：一般情況下，剩余項是前后對稱的

解析：由等差數列的前n項和公式得所以n取 1，2，3，…，就 分 別 得 到

同類題型：求的值。

解析：令