三角函數與平面向量中的易錯題歸類剖析

■河南省平輿縣第一高級中學 晁明月

數學中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中的“陷阱”，解題過程中一不小心就會掉進去。本文列舉出了三角函數、平面向量中的易錯點，希望同學們在今后的學習中能引以為戒。

一、忽視函數的定義域對角范圍的制約致錯

注意定義域對角范圍的制約，有些三角函數的定義域，因其相對隱蔽，解題時往往被忽略考慮，造成錯解。

例1求函數的遞增區間。

錯解：設于是由，解得函數f(x)的遞增區間為

剖析：上述解法忽略了函數的定義域。因為題目中分母不能為零，即1+sinx+cosx≠且x≠2kπ-π。所以函數f(x)的遞增區間為

二、忽視三角函數值對角范圍的制約致錯

三角求值或求角的大小時，不僅要注意有關角的范圍，還要結合有關角的三角函數值把角的范圍縮小到盡可能小的范圍內，不然容易出錯。

例2已知α、β為銳角求β。

錯解：由α、β為銳角，知0＜α+β＜π，所以

剖析：在上面的解法中，未能就題設條件進一步縮小α+β的范圍，引起增解。我們可以作如下進一步分析：因為且0＜α+β＜π，所以或，得，從而，于是cos(α+β)=，故，即

三、忽視三角形的邊角關系對角范圍的制約致錯

解與三角形有關的三角問題時，必須注意三角形中的邊角等量關系、邊角的不等關系及內角和關系等對角范圍的制約，以免產生增解。

例3已知A、B、C為△ABC的內角，且，求cosC的值。

錯解：由，得，故又，且B∈(0，π)，所以從而

剖析：若則π-B∈由，得，與A+B＜π矛盾，故角B為銳角。從而故

四、忽視變形式子對角范圍的制約致錯

在三角變形過程中，有時要利用變形后的式子來進一步縮小角的范圍，這樣才能得出正確的結果。

例4已知0＜α＜β＜γ＜2 π，且求α-的值。β

錯解：由已知等式得cosα+cosβ=

①2+②2得2+2 cos(α-β)=1，即cos(α

因為0＜α＜β＜2 π，所以-2 π＜α-β＜0，所以或

剖析：上述解錯在于沒有利用題設條件進一步縮小α-β的范圍，從而產生了增根。

又0＜α＜β＜γ＜2 π，所以-2 π＜α-γ＜0，0＜γ-β＜2 π，結合③得，所以-π＜α-β＜π。又α＜β，從而-π＜α-β＜0，故

五、忽視三角函數的值域致錯

例 5若求sin2α+sin2β的最大值與最小值。

錯解：由已知條件可得sin2β=cosα-，則 有所以當cosα=1 時 ，sin2α+sin2β取得最大值1，當cosα=-1時，sin2α+sin2β取得最小值-1。

剖析：最小值求錯了，錯的原因就是未注意正弦函數的有界性。由sin2α+2 sin2β=2 cosα知2≥cos2α+2 cosα-1=2 sin2β≥0，解得故sin2α+sin2β的 最大值與最小值分別為1和2(2-1)。

六、三角代換不等價致錯

例6已知|a|＜1，|b|＜1，求證：

錯證：設則有

剖析：雖然題設條件中呈現正、余弦函數的有界性，但兩個字母a、b并非有一定的制約關系，因此不能設成同名，且最后一步正、余弦平方和大于零也欠推敲。

例7已知1，求x+y的取值范圍。

錯解：由1-x2≥0，1-y2≥0，得-1≤x≤1，-1≤y≤1，所以可設x=sinα，y=cosβ，其中則有1由所設推得，所以α-β=0，即α=β。所以x+，所以，所以

剖析：仔細分析滿足已知不等式的x、y的取值范圍應為[0，1]，故在三角代換時不等價，對角的范圍要限制成正確結果應為