2019 年高考中的“三角函數和三角變換”

■江蘇省沭陽如東中學 彭 菡

2019年高考三角函數和三角變換主要圍繞“三角函數定義、三角公式求值、方程組觀念的應用、三角函數圖像性質、三角函數區間上的零點和值域”等問題展開的，彰顯“整體變量觀念、轉化化歸和數形結合”素養的具體應用。

題型一——三角函數定義、同角關系誘導公式及和差角公式

例1(2019年高考江蘇卷13)已知的值是

解析：由題意首先求得t a nα的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數式的值即可。由得解得

點睛：本題考查三角函數的化簡求值，滲透了邏輯推理和數學運算素養。采取轉化法，利用分類討論和轉化與化歸思想解題。

題型二——二倍角公式及方程組觀念求值

例2(2019年高考全國Ⅱ卷文11理10)已知，則

解析：利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角的范圍及正余弦平方和為1的關系求得答案。因為2 sin2α=cos2α+1，所 以因為，所

點睛：本題為三角函數中二倍角公式、同角三角函數基本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦的正負及運算的準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數問題，研究角的范圍后得出三角函數值的正負，很關鍵，切記不能憑感覺。

題型三——經過三角變化探究y=Asin(ω x+φ)+B，y=Acos(ω x+φ)+B的性質

例3(2019年高考全國Ⅲ卷文5)函數f(x)=2 sinx-sin2x在[0，2 π]上的零點個數為( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：令f(x)=0，得sinx=0或cosx=1，再根據x的取值范圍可求得零點。

由f(x)=2 sinx-sin2x=2 sinx-2 sinxcosx=2 sinx(1-cosx)=0，得sinx=0或cosx=1。因為x∈[0，2 π]，所以x=0或π或2 π。所以f(x)在[0，2 π]上的零點個數是3。故選B。

點睛：本題考查在一定范圍內的函數的零點個數，滲透了直觀想象和數學運算素養。采取特殊值法，利用數形結合和方程思想解題。

題型四——經過圖像變換探究函數解析式求值

例4(2019年高考天津卷文7)已知函數f(x)=Asin(ω x+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函數，且f(x)的最小正周期為π，將y=f(x)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖像對應的函數為g(x)。若，則( )。

解析：只需根據函數性質逐步得出A，ω，φ值即可。由f(x)為奇函數，可知f(0)=Asinφ=0，由|φ|＜π可得φ=0；把其圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得，由g(x)的最小正周期為2 π可得ω=2，由，可得A=2，所以，所以故選C。

點睛：本題考查五點法確定函數解析式及圖像變換法求f(x)=Asin(ω x+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的思維方法。

題型五——經過三角變換探究f(x)=Asin(ω x+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的性質

例5(2019年高考浙江卷18)設函數f(x)=sinx，x∈R。

(1)已知θ∈[0，2 π)，函數f(x+θ)是偶函數，求θ的值；

解析：(1)由函數的解析式及偶函數的性質即可確定θ的值，由已知函數的解析式可得f(x+θ)=sin(x+θ)，因為函數為偶函數，則當x=0時，即，結合θ∈[0，2 π)可取k=0，1，相應的θ值為

(2)通過降次結合輔助角公式整理函數的解析式為y=Asin(ω x+φ)+B的形式，然后確定其值域。由函數的解析式可得：

點睛：本題主要考查由三角函數的奇偶性確定參數的值，三角函數值域的求解，三角函數式的整理變形等知識，意在考查同學們的轉化能力和計算求解能力。