以數(shù)思形 活動(dòng)探究
——以“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)1”為例

■曹 焱

反比例函數(shù)是初中階段的三個(gè)重要函數(shù)之一。之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)概念，經(jīng)歷了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的探索過程，大致了解了函數(shù)學(xué)習(xí)以“定義→圖像→性質(zhì)→應(yīng)用”為主要研究脈絡(luò)。本節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生，用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖像；通過對反比例函數(shù)圖像的分析，探索并歸納反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，體驗(yàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能初步運(yùn)用。

一、問題引入

1.前面我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，主要研究了哪些內(nèi)容？

2.猜想一下，我們將會(huì)沿著什么樣的知識(shí)脈絡(luò)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)？

3.反比例函數(shù)的解析式是______；自變量x的取值范圍為_____。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了三個(gè)問題，回顧函數(shù)學(xué)習(xí)的主要脈絡(luò)，以舊知引入。學(xué)生類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以猜想反比例函數(shù)的研究脈絡(luò)，借此溫故而知新。

二、新知探究

1.初探——猜想、驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：該板塊旨在“以數(shù)思形”，讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)表達(dá)式中x、y的取值范圍和數(shù)量關(guān)系，初步估計(jì)圖像的基本概貌，如位置、趨勢及對稱性等，初步感知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)圖像不同（可能是兩條不連續(xù)的曲線），為后面畫圖像做準(zhǔn)備，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生在將來自主探究未知函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)采用類似方法。

2.再探——列表、交流。

活動(dòng)1：列表。恰當(dāng)?shù)剡x取自變量x的值，計(jì)算函數(shù)y對應(yīng)的值，填入表內(nèi)。___________

思考1：根據(jù)解析式，說說這樣取x值的理由或取x值時(shí)的注意點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：在本環(huán)節(jié)，教師投影展示學(xué)生填寫的幾種不同列表。師生共同提煉取自變量x值時(shí)的注意點(diǎn)，為后續(xù)描點(diǎn)、連線做準(zhǔn)備。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)的表達(dá)形式之一——表格中的各組數(shù)據(jù)，初步感知反比例函數(shù)圖像的位置、不連續(xù)性、增減性、對稱性等性質(zhì)。

3.三探——操作、展示。

活動(dòng)2：描點(diǎn)、連線。以表中各組x、y的值為點(diǎn)的坐標(biāo)，在網(wǎng)格坐標(biāo)圖中描出相應(yīng)的點(diǎn)并連線，畫出圖像。

思考2：觀察活動(dòng)1中的表格，表格左右兩端還能取x的值嗎？若能，該怎么表示？在圖像中如何體現(xiàn)？

學(xué)生以小組為單位交流畫圖過程中的典型錯(cuò)誤，提煉畫圖的注意點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)由學(xué)生自主畫圖、小組交流、投影展示典型錯(cuò)誤、師生共同提煉畫圖的注意點(diǎn)四部分組成。學(xué)生在剖析解析式特征的基礎(chǔ)上自主探究畫圖。教師利用投影展示學(xué)生的錯(cuò)誤，通過合理引導(dǎo)，幫助學(xué)生討論、思辨以及掌握反比例函數(shù)圖像的畫法。最后，教師利用幾何畫板跟蹤點(diǎn)的軌跡，產(chǎn)生反比例函數(shù)的圖像，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取盡可能多的點(diǎn)時(shí)，反比例函數(shù)圖像就是分布在第一、三象限的兩支曲線，故也稱為雙曲線。

4.演示——分析、歸納。

歸納：當(dāng)k＞0時(shí)，反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)。

思考3：當(dāng)k＞0時(shí)，反比例函數(shù)圖像性質(zhì)能作為一般反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)嗎？歸納：當(dāng)k＜0時(shí)，反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)。設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)通過一系列問題不斷引導(dǎo)學(xué)生深入探究反比例函數(shù)性質(zhì)（位置、增減性、對稱性）。教師用幾何畫板，先演示k取不同正整數(shù)時(shí)（k＞0）圖像的變化，幫助學(xué)生從特殊到一般理解k＞0時(shí)反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，再演示k取不同負(fù)整數(shù)時(shí)（k＜0）圖像的變化。整個(gè)環(huán)節(jié)，教師運(yùn)用幾何畫板，能讓學(xué)生直觀地感受反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的變化，逐步深入理解反比例函數(shù)圖像性質(zhì)。

三、知識(shí)應(yīng)用

2.上述選項(xiàng)B中的圖像，對應(yīng)的解析式可能是下列哪一個(gè)？

（1）求k的值。（2）請你補(bǔ)全圖中反比例函數(shù)圖像的另一支。（3）y隨x的增大怎樣變化？（4）點(diǎn)，-16）、C（-3，5）在這個(gè)圖像上嗎？

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)的表達(dá)形式有解析式、表格、圖像三種。問題1、2考查學(xué)生能否在函數(shù)解析式與圖像之間熟練轉(zhuǎn)化，其中，要引導(dǎo)學(xué)生注意第2題（1）、（3）中x的取值范圍，其圖像是雙曲線的一個(gè)分支；問題3是教材例題的變式，考查學(xué)生對反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的理解和運(yùn)用。

四、小結(jié)

提問：反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？它有什么性質(zhì)？反比例函數(shù)性質(zhì)的探索過程體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

設(shè)計(jì)意圖：教師教學(xué)不僅要授之以魚，更要授之以漁。反比例函數(shù)章節(jié)不僅是一次函數(shù)的深化，也是日后學(xué)習(xí)曲線型函數(shù)必要的經(jīng)驗(yàn)積累。所以，在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師繼續(xù)追問：如果后續(xù)我們要學(xué)習(xí)一個(gè)未知函數(shù)，結(jié)合前面學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們將怎樣研究這個(gè)未知函數(shù)？學(xué)生的回答精彩紛呈，為整節(jié)課畫上了一個(gè)圓滿的句號。