構建深度學習課堂 促進數學核心素養的養成*

(浙江省教育廳教研室，浙江 杭州 310012)

深度學習源自于人工智能范疇的概念，是對人類思維活動的模擬，它被定義為“一系列試圖使用多重非線性變換對數據進行多層抽象的算法”.當深度學習移植到教育領域后，至今沒有統一的界定，但在深度學習與淺層學習的差異性及深度學習的本質理解上基本趨同.深度學習不是簡單的模仿練習，也不是停留在問題的解決層面，而是觸及問題的本質，發現問題的源與流，提升學生探究和自主創新能力的學習.深度學習是以創新方式向學生傳遞豐富的核心學習內容，引導他們有效學習并能將其所學知識付諸于應用.現今強調深度學習是推進課程改革、培養學生核心素養的需要，《普通高中數學課程標準(2017年版)》倡導“學生要開展基于項目的學習、基于問題的學習、基于探究的學習、基于挑戰的學習”，這是深度學習方式的體現.站在數學教學角度看深度學習，有著其自身的特征，下面筆者就數學學科如何開展深度學習作一闡述.

1 深度學習的數學課堂構建

深度學習雖沒有統一界定，但在學術界有影響力的觀點有：華南師范大學張詩雅教授、東北師范大學馬云鵬教授等學者從學習方式角度闡述，他認為“深度學習是一種基于理解與遷移的學習方式，是指學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標，以整合的知識為內容，積極主動地、批判性地學習新的知識和思想，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題”.北京師范大學郭華教授從學習意涵角度闡述，他認為“深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程”.黎加厚教授從學習過程角度提出,深度學習是指在理解的基礎上，學習新的知識和新的思想，并將其融入原有的認知結構中，與眾多思想進行重組，最終將已有知識遷移到新的情境中解決問題.

站在高中數學教與學的角度看深度學習，深度學習的數學課堂應具備3個特點、5個要素.其中的3個特點是:1)深度學習是有意義的學習，它不是單純的接受，而是在發現基礎上的同化；2)深度學習是基于深度理解的學習，它強調深度體驗、深度思考、深度探究、深度整合，發現問題的本質，達成對學科本質和知識意義的深度理解；3)深度學習是批判與質疑的高階思維學習，它強調了學習階梯性和思維進階性，強調了知識的普遍聯系與綜合應用.5個要素是：揭示本質，滲透思想；深度思考，高階思維；注重聯系，意義建構；強調過程，重視體驗；遷移應用，正確結果.

2 高中數學課堂開展深度學習的教學策略

2.1 挖掘內涵，看清問題本質

眾所周知，只有把握了數學問題的本質，才能更好地加深對問題的認識.在數學課堂上引導學生開展深度學習，就是要讓學生經歷新舊知識的整合與探究、數學規律的發現與驗證、數學思想方法的滲透與理解，逐步認清數學問題的本質.數學學科的核心內容包括：使用符號閱讀與表述、數學對象的運算、圖形的認識與圖形關系、數據的整理分析等.通過整體的教學內容分析，設計有助于學生深度思考的教學活動，使體現學科本質、關注學習過程和富有深度思考的學習活動真正發生.

圖1

例2如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°,則tanθ的最大值是______(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).

(2014年浙江省數學高考理科試題第17題)

分析因為θ就是直線AP與平面ABC所成的線面角，所以當AP在平面ACM中轉動時，θ的最大值恰好等于二面角M-AC-B的平面角，這是二面角的最大角特性所致，從而抓住了問題的數學本質，迎刃而解.作PQ⊥BC交BC于點Q，作QR⊥AC交AC于點R，則∠PRQ就是二面角M-AC-B的平面角，故

2.2 倡導深度思考，達到深度理解

在數學學習過程中思維活動不可或缺，而開展符合深度學習要求的思維活動有個必要條件，就是開展具有深度思維的課堂活動，這些活動不是對知識簡單的識記、模仿，而是要在理解基礎上對問題分析、綜合、評價的高階思維.教師就是要引導學生在具有深度思維價值的課堂活動中實現思維的進階.

例如，在教授周期函數時，應讓學生深入理解以下概念：1)周期函數的定義域是無界的；2)周期函數并不局限于三角函數，非三角函數的周期函數也是存在的；3)定義域為R的函數若有兩條不同的對稱軸或有一條對稱軸和一個對稱中心，則它是周期函數；4)并不是每個周期都有最小正周期，如狄利克雷函數；5)兩個周期函數的和未必是周期函數，如f(x)=[x]-x+sinx，又如f(x)=sin 2x+sin 3πx；6)里層函數為周期函數的復合函數仍是周期函數.

又如在等比數列起始教學中，有的教師舍不得在理解等比數列概念上花時間，而利用類比思想提出等比概念后，就急于推導通項公式、等比中項、對稱性性質，然后急于做練習.筆者的做法是讓學生深入理解等比數列的概念，先提出以下一組問題：

1)從整體結構看，等比數列共有幾類？(每項均大于0、每項均小于0、正負相間或負正相間這4類，目的是讓學生整體上看清等比數列的結構.)

2)若數列{an}是等比數列，則數列{a2n},{a2n-1}是等比數列嗎？進一步，數列{a3n+1},{akn+1}(其中k∈N)是等比數列嗎？

4)若數列{an}是等比數列，則數列{an+an+1},{an+an+1+...+a2n}是等比數列嗎？

通過這些問題的探討，對等比數列的結構有一定的認識和理解.

2.3 優化知識建構,完善知識體系

數學的學習過程是對數學知識進行不斷建構、不斷完善的過程.根據建構理論，教師應從學生最近發展區開始引導學生對新舊知識在認知上進行比對、歸位與重建.深度學習強調批判性思維，強調在發現的基礎上的同化.因此在深度學習狀態下，要引導學生主動建構知識，經常性進行聯想、推廣、質疑，豐富學習內容，從而優化知識結構.

例如，學習完函數奇偶性后，可引導學生認識：函數y=f(x)為奇函數的充要條件是函數y=f(x)的圖像關于坐標原點成中心對稱，即函數y=f(x)為奇函數的本質是圖像關于坐標原點成中心對稱，鼓勵學生自主探究“函數y=f(x)的圖像關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是什么，這樣的函數可稱什么函數”，必要時允許學生求助于幾何畫板等技術幫助.教師也可點撥:函數y=f(x)的圖像關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數，一般定義“設函數y=f(x)的定義域為D，若對任意x1,x2∈D,且當x1+x2=2a時，恒有f(x1)+f(x2)=2b，則函數y=f(x)的圖像關于點P(a,b)成中心對稱圖形，點P為對稱中心”.學生理解了這一原理后，教師可進一步引導學生自主研究或編制求以下函數圖像的對稱中心：

2)f(x)=x3-3x2+2;

掌握這一原理知識后，教師可進一步鼓勵學生應用這一拓展性知識，如

研究透了關于點P(a,b)成中心對稱圖形的函數y=f(x)圖像后，建議學生類比上述推廣結論，寫出“函數y=f(x)的圖像關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論，并給出類似的等價命題與相應問題.

在講解導數應用問題的時候，我們知道，函數極值點的導數為0，那么反過來，導數為0處是否一定是極值點呢？再如，我們還知道，如果導數大于0，那么原函數單調遞增，那反之，單調遞增函數的導數一定大于0嗎？如果函數不可導怎么辦？類似這些問題需要學生帶著批判性思維去思考，從而提高對問題認識的深刻性.

2.4 經歷過程體驗，感悟知識源與流

深度學習強調數學課堂是一個生成與預設的課堂，強調教學的過程，要讓學生經歷知識發生、發展的過程，使知識的形成與獲得變得更加自然，真切體會知識的來龍去脈.在實際教學過程中，許多一線教師受課時的限制，往往會忽視這一過程，學生對所學概念還沒有深度理解，就開始訓練題型，“一個定理+三項注意”式的教學還大量存在，有的教師不顧學生的認知規律，總想著一步到位，基礎知識還沒有學扎實就開始做高考題，這在習題教學中尤為突出.在落實核心素養教學的今天，有必要從轉變教學方式入手，在開展深度學習時，教師不應當過分地超前提示，讓學生模仿自己所謂的經驗與捷徑.在教學中切忌出現“滑過”現象，教師應給學生多留些思考與體驗的空間，給學生一點“直覺”“頓悟”的感受機會.

例如在橢圓定義的教學過程中，教師可以用多種方式讓學生經歷概念的生成過程：首先讓學生觀察生活中的一些橢圓物體，圓柱、圓錐被平面所截的截口線、圓形紙片的翻折折痕等，圓被壓縮可變橢圓；其次借助幾何畫板觀察到兩定點距離之和為常數的動點軌跡、到兩定點的連線斜率積為常數的點的軌跡，然后概括橢圓定義，從而感悟橢圓定義的形成過程.

2.5 關注學習結果，夯實“四基四能”

深度學習既關心過程也關心結果.從數學角度，深度學習的結果不能狹義地理解為只是對知識的一個解答，其中應當包含數學的基本思想和基本方法等.課程改革要求培養學生的“四基四能”，強調發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，這正與過程中經歷知識發生、發展相互對應，是深度學習過程性結果的具體呈現，更是素養的集中體現.

例3觀察以下各等式：

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明．

AB2=(2RsinA)2+(2RsinB)2-

2·2RsinA·2RsinBcosC=(2Rsin120°)2，

即在已知△ABC中,若A+B=60°，則

本題體現了歸納猜想的數學思想，有助于培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力.

3 引導學生開展深度學習的教學構建

深度學習的課堂有其基本的要素，但沒有固有的模式，因此，在實際課堂教學中應設計一些具有開放性、探索性的“高階思維”問題是引導學生開展深度學習的關鍵.實踐表明，通過精選素材、巧設問題、啟發探索、引申質疑、歸納提煉可促進學生深度學習，下面給出具體的教學案例片斷.

案例1“為什么截口曲線是橢圓”的探究.

環節1創設情境，問題導入.

播放PPT,請學生觀察生活中的幾個現象：小球手電筒照射下的影子、太陽光下球的影子、刀切蘿卜的截口、圓柱錐形水杯傾斜時水面的形狀、手電筒斜射下在地面上的影子,你能發現一些什么規律嗎？

說明采用立體感強的三維動畫制作課件進行呈現，形象逼真的動態演示給學生創設了想象的空間，也給出富有挑戰性的課題讓學生去發現問題、提出問題.

環節2抽象概括，提出問題.

分析共同特征，即“當平面斜截一個圓柱或者圓錐時得到的截口曲線是橢圓”.

說明眾所周知，橢圓、雙曲線、拋物線統稱為“圓錐曲線”，它源自于用平面截圓錐面.從生活中的橢圓入手，重構歷史，讓學生經歷從橢圓截面定義到書本軌跡定義的知識發生過程，很自然地把實際問題轉化為數學問題，啟發并引導學生用數學的方法進行探究和證明.

環節3問題證明，深度思考(先證平面斜截一個圓柱得到的截口曲線是橢圓).

證明(用丹德林雙球法)如圖2， 過點P作圓柱的母線與兩球分別切于點M,N，在空間中，過球外一點所作的切線長度相等，從而PE=PM，同理可得PF=PN.故PE+PF=PM+PN=MN為定值.

說明這一證明史稱“丹德林雙球法”，構造強，富有創造性，不易想到，要引導學生細細口味.建議學生再想新辦法，并給予證明.

圖2 圖3

另證如圖3建立通過求出曲線上點P的坐標所滿足的方程形式來判斷曲線的形狀.作點P在圓柱底面的投影P′，投影點P′的曲線方程為x′2+y′2=r2(其中r為底面圓的半徑).因為y=y′,xcosθ=x′,所以

(xcosθ)2+y2=r2,

(1)

特殊情況:當θ=0°時，式(1)表示圓的方程；當0°<θ<90°時，式(1)表示焦點在x軸上的橢圓.

說明利用圓柱的特殊性，進一步從代數角度進行證明.曲線的軌跡除了從幾何角度考慮外還可以利用點P的坐標所滿足的方程形式來判斷曲線的形狀.從“幾何”和“代數”兩個角度進行考慮使得證明更加完備，也培養了學生的問題轉化能力，拓寬了分析問題的思路.

圖4

再證當平面與圓錐母線都相交時得到的截口曲線是橢圓.

仍用“丹德林雙球”證明，如圖4,過點P作圓錐的母線與兩球分別切于點M,N.在空間中，由球外一點有無數條切線并且切線長度相等得PE=PM，同理可得PF=PN.故PE+PF=PM+PN=MN為定值.

環節4拓展應用，引向深入.

例4在一個密閉透明的圓柱桶內裝一定體積的水,將圓柱桶分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內的水平面可能呈現出的所有幾何形狀，畫出直觀示意圖.

圖5

水平面可能出現的幾何形狀如圖5所示.

教師追問：若給出的是密閉透明的圓錐內裝一定體積的水，情況如何？

例5如圖6，一個半徑為2的球放在桌面上，一束平行光線與桌面成30°角，球在桌面上的投影是什么形狀？請求出離心率.

隨著平行光與桌面角度的變化，球在桌面上形成的投影形狀也在發生相應的變化，其實這就相當于一個圓柱與平面相交得到的截面問題.球在桌面上的投影是橢圓，且

故

圖6 圖7

例6如圖7，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是

( )

A.圓 B.橢圓

C.一條直線 D.兩條平行直線

分析由AB長度固定及△ABP的面積為定值得點P到AB的距離為定值.又到一條直線的距離為定值的點形成的軌跡為以這條直線為中心軸的圓柱側面,從而點P既在平面α上又在圓柱的側面上，也就是相當于圓柱與平面相交的截面問題(橢圓面).

這是一堂幾何拓展課的教學片斷，借助于信息技術演示來體驗、觀察、發現各種可能的截面.最后通過實驗觀察、思辨質疑、操作確認、推理證明完成一個個問題.

這樣的學習就是問題引導下的深度學習，培養了學生發現問題、提出問題、作圖表達、推理論證等能力，也促進了學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等素養的提升，從而實現了高階思維.

在現實課堂教學中，如何在有限的教學時間內引導學生做到深度學習確實不易，既要完成既定的教學任務，又要讓學生盡量充分地去體驗學習的過程，這是一線教師開展深度學習最難解決的矛盾.當然要引導學生開展深度學習，首先要求教師要對教學內容進行深度學習，只有這樣才能深度理解教學內容、批判質疑有關問題、揭示問題的本質.