找點搭線構面 教會學生選擇*
——一道高三模考試題的解法剖析、變式和反思

(金陵中學,江蘇 南京 210005)

(南京市第十二中學,江蘇 南京 210011)

學生是教學實施的主要對象，是學習材料的實踐者.學生的學習過程，其實是一連串的選擇活動，從學習目標、學習方式到學習手段，無一不是選擇的結果；從“學什么”到“怎么學”也無一不是選擇的過程[1]，因此，學生學習的選擇能力應該受到重視.數學選擇能力其實就是數學學習能力的直接體現.

高三數學教學要以發展學生的學科素養為導向，找準“切入點”(核心知識點、關鍵點、疑難點等)，搭建重要“轉化線”(知識線、方法線、思想線等)，連點成線，構建系統“結構面”，將知識進行整合，方法進行比較，從整體上促進學生對問題本質的理解，進而培養學生積極和精準的選擇能力，更要關注學生創造性的選擇力.教師要引導和幫助學生學會選擇，貼近學生的想法，為學生創建良好的學習情境，不斷滿足學生的學習需求，促進每一位學生積極主動地思考問題，讓學生學“通”和學“透”，從而建立一種良好的“教”與“學”的循環體，優化課堂教學結構，提高課堂教學效益.

1 提出問題

下面，筆者通過對題目解法的剖析和選擇，談談在這方面的實踐和思考，與同行分享.

2 解法探究

數學解題的關鍵點是探尋解題的“題眼”，轉化是思維的主線，即將復雜問題簡單化、將陌生問題熟悉化、將運動問題靜止化、將隱性問題顯性化等，轉化目標的分析和轉化方向的選擇對問題的求解至關重要.

2.1 向量分析，選擇“投影”

解法1由f(x)=x3-a2x(其中a>0,x≥0)，得

f′(x)=3x2-a2,

圖1

即

f′(x0)=3，

(1)

(2)

進而得

2.2 圖形分析，選擇“切線”

3x-y≤3a，

即x3≥(3+a2)x-3a在[0,+∞)上恒成立.令g(x)=x3，t(x)=(3+a2)x-3a，易知g(a)=t(a)，即兩個函數圖像都過點D(a,a3)(如圖2)，且當x≠a時函數g(x)的圖像恒在t(x)的上方，從而直線y=(3+a2)x-3a為曲線y=x3在點D處的切線，得

圖2

即

3a2=a2+3(其中a>0)，

故

2.3 導數分析，選擇“最值”

又g(a)=0，得

式(15)中Resmax，Cmax，Pmax為目標芯片可提供的相關代價函數的最大數值，用于歸一化各項代價函數取值，參數w1,w2,w3為各項代價函數權值，可以根據實際需要進行賦值.

2.4 定點分析，選擇“降次”

令g(x)=x2+ax-3，易知g(x)在區間[a,+∞)上單調遞增，從而

g(x)min≥0，

即

g(a)≥0，

當x∈[0,a]時，x2+ax-2≤0恒成立，令g(x)=x2+ax-3，易知g(x)在區間(0,a]上單調遞增，從而

g(x)max≤0，

g(a)≤0，

得

評注對于x3-(3+a2)x+3a≥0在[0,+∞)上恒成立問題，也可以選擇先將其不等式左邊的整式因式分解，再借助于分類討論，利用夾逼法求a的值.因式分解是該解法求解的難點，由點C(a,0)的暗示，易知x-a是它的一個因式，于是達到了降次的目的，難點得以突破.該種方法更能考查學生的代數功底以及數學邏輯推理、數學運算等素養.

3 變式探究

( )

A.B0M⊥OA

B.B0M=OA

D.B0M⊥l(其中l是函數圖像過點B0的切線)

例2依然沿著轉化的主線，借助化動為靜的思想設計題目，供學有余力的學生課后探究.該變式題主要以向量數量積知識為背景，利用極化恒等式方法求解是首選.通過變式題豐富復習內容、輻射解題方法、拓展解題視域、優化思維品質、感悟解題亮點、揭示問題本質、選擇最佳路徑求解問題.變式要在原有的基礎上有所創新，要讓學生在變式中獲得新知識、新方法、新思路、新體驗.

例3下列4個正方體圖形中，A,B為正方體的兩個頂點，M,N,P為正方體的頂點或為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是______.

圖3

例3考查的核心知識點是直線與平面平行的判斷(知識點定位要精準)，要說明AB∥平面MNP，關鍵是要在平面MNP中找到某一條直線與AB平行，或者構造經過直線AB的平面與平面MNP平行，或者利用空間向量知識求解等.通過改變平面MNP的位置，讓學生感受數學知識的發生過程，揭示問題的本質，豐富學生的選擇路徑,喚醒學生的選擇意思,培養學生的選擇能力.既然存在多種解題路徑，那么學生會作出怎樣的選擇？教師要引領學生分析這是一個什么類型的問題？含有哪些條件？能否挖掘其中的隱含條件？條件和結論之間有何關聯？可以選擇什么路徑？在交流的過程中，讓學生探討問題的本質，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的聯系，從而掌握解題之法(問題求解的切入點)、積累解題經驗(問題解決的轉化線)、領悟解題之道(構建系統的結構面)，在各種解題途徑中作出合理和準確的選擇，少走彎路.

4 教學反思

4.1 找準“切入”點，教會學生選擇

解題思路的獲得就是要找準“切入”點，其實就是要做好理解題意和找出已知數據和未知量之間的聯系，切入點的選擇正確與否直接關系到解題的成敗.教會學生如何選擇解題的“切入”點，它具有什么樣的特征，如何識別這種特征，才能為解題做好鋪墊.

4.2 搭好“轉化”線，教會學生選擇

只有做好轉化工作，才能順利地實施解題計劃.轉化是解題的利器，轉化方向的選擇直接影響到解題的繁簡程度，比如，對x3≥(3+a2)x-3a的轉化可以選擇多種形式，在講評時教師要認真設計教什么和怎么教、用什么樣的方式呈現給學生才能引起學生的共鳴，讓所有的學生都能沿著“轉化”線路思考問題，在試題的講評中都會有所獲、有所感悟.在問題的轉化過程中應加強師生間的思維對話，不但要學生掌握解題方法，更要重視訓練學生的思維品質.多視角審視一題多解、一題多變、一題多思、一題多講，比如例3，通過問題的解決達到鞏固基礎知識、探索解題規律、形成解題技能、優化思維方法、揭示問題本質等目的[2].

4.3 構建“結構”面，教會學生選擇

任何一個可解決的數學問題，其結構(個性特征)與解決它的方法之間必然存在著其和諧的、令人賞心悅目的內在聯系[3].數學知識間是相互關聯的，具有較強的連續性和整體性，教師在進行解題教學時不能只停留在對解法的分析，而應該告訴每種方法是如何想到的、為什么這么想；要立足于整個知識結構，進行一個系統剖析，從中提煉解題方法，感悟數學思想.通過變式題拓展學生的思維，讓學生對涉及到的知識點和解題方法再總結和再反思，能從全局的角度思考問題，為解題提供更多的和可供選擇的思維視角.只有建立知識點間的聯系，才能理解問題的本質，將問題表征到位；只有將各種方法比較和反思，才能為解題作出靈活選擇，提高解題效益；只有重視問題引領，才會達到“教”與“學”的一種高度融合，提高高三復習效益.

數學解題教學，教師不僅僅限于教給學生解題方法，而且更應該教會學生方法的選擇能力，讓學生學會思維，理解問題本質，從而實現“教師教得有效、學生學得高效、成績出得顯效”.