基于數學本質的一道平面向量典型試題的研究與拓展*

(鎮海中學,浙江 寧波 315200)

平面向量是高考考查的重點知識，近3年的《浙江省高考考試說明(數學)》對它的考試要求都用了“理解”“掌握”“會用”等字眼.從教學層面來看，向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種有力工具.但遺憾的是，從學生層面來看，向量試題往往成為他們解題路上的一道坎，他們或許知道從何開始，卻不知在何處結束.

在2018學年第二學期浙江省名校協作體聯考中，就有這么一道向量試題讓學生望而卻步.筆者抓住機會，全方位、多角度剖析這道試題，并對其進行了研究與拓展.正如波利亞所言：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的教學內容和大量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入挖掘題目的各個側面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”[1]

1 試題呈現及分析

例1若平面向量a,b,e,滿足|a|=2，|b|=3，|e|=1且a·b-e·(a+b)+1=0，則|a-b|的最小值是

( )

本題主要考查平面向量數量積的運算，同時考查學生運用等價轉化、數形結合等思想方法解決問題的能力及邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養.本題知識綜合性強，能力要求高，但沒有脫離對主干內容的研究.解決的關鍵是如何將模的最值問題轉化為函數最值問題或幾何最值問題[2].

2 解法探究

解決平面向量數量積問題有3個視角：代數運算、幾何直觀和坐標表示，不同的視角緣于我們對概念的不同認識.

2.1 代數運算:a·b=|a|·|b|cos θ

解法1設a與b的夾角為θ，e與a+b的夾角為β，從而

a·b=6cosθ,

于是a·b-e·(a+b)+1=

解得

因為|cosβ|≤1，所以

解得

評注遇到向量的數量積問題，首先應該考慮運用數量積的定義(a·b=|a|·|b|cosθ)，將向量運算轉化成數量運算，從而將問題轉化為雙變元的三角函數最值問題，用三角函數的有界性構造不等式，恰到好處.

2.2 幾何直觀：a·b=0?a⊥b

解法2因為a·b-e·(a+b)+1=(a-e)·(b-e)=0，所以

(a-e)⊥(b-e).

圖1

且滿足|OF|≤|OE|+|EF|，即

解得

評注觀察題干中向量式子的結構特征，將其轉化為(a-e)·(b-e)=0后，本題的幾何特征顯現.將垂直轉化為圓的問題后，就不難發現△OEF中三邊存在的不等關系.

2.3 坐標表示：a·b=x1x2+y1y2

解法3考慮到平面向量a,b,e位置的相對性，不妨設a=(2,0),b=(3cosθ,3sinθ),e=(cosβ,sinβ),則

a·b-e·(a+b)+1=6cosθ-cosβ·(2+

3cosθ)-sinβ·3sinθ+1=0,

整理成關于β的函數，得

(2+3cosθ)cosβ+3sinθsinβ=6cosθ+1，

解得

評注建系和設坐標已經成為不少學生解決向量問題的“救命稻草”.我們可以通過坐標運算將向量問題直接“翻譯”成代數問題.但是，在解決與之相關的代數問題時，還需要學生有較強的處理多變量代數運算的能力.

3 縱深挖掘

3.1 代數運算重觀

本題的關鍵是要“消除”e對a,b的“影響”，即如何處理e·(a+b)這個運算.事實上，在處理數量積最值問題時常常會用到不等式|m·n|≤|m|·|n|，而這個不等式的好處是將數量積定義中3個變量間的關系轉化成兩個模之間的關系，從而消除了角度的影響.這也是解法1的本質.

當然，如果從結構上重新認識等式

a·b-e·(a+b)+1=0，

或許會有新的發現.我們知道

因為

||a+b|-|e||≤|a+b-e|≤|a+b|+|e|,

所以

又

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=26，

在上述解答過程中，我們用到了處理向量最值問題時用到的另一個重要不等式(向量三角不等式):||m|-|n||≤|m+n|≤|m|+|n|.

3.2 幾何圖形重觀

圖2

重觀圖1，若將△AEB補成如圖2所示的矩形AEBC，則本題的本質應該是矩形中的一個重要性質：

兩式平方相加，得

從而

在△OEC中，

又AB=EC，故

這道題的原型就是2013年重慶市數學高考理科試題第10題：

( )

3.3 拓展延伸

事實上，當我們把向量條件幾何化之后，就變成了解三角形問題：

圖3

例3如圖3，在△AOB中，已知OA=2，OB=3，OE=1,AE⊥BE,求AB的最小值.

解此時可設∠AEO=α，∠BEO=β，AE=x，BE=y,則

即cos2α+cos2β=1(當圖形變成如圖4～6的情況時，同樣有cos2α+cos2β=1).

圖4 圖5 圖6

在△AOE,△BOE中，由余弦定理可得

從而

即

展開得

解得

4 反思感悟

平面向量是高中數學的重要知識，也是溝通代數與幾何的一種有力的工具.解決平面向量問題往往有3個視角：代數運算、幾何直觀和坐標表示.方法很明確，但是為什么學生還是無法越過向量的坎呢？我們應該多從課本中原有的知識點出發，以題目為載體，加強學生的知識運用能力.

比如，本文例題中蘊含的平面向量中的兩個重要不等式||m|-|n||≤|m+n|≤|m|+|n|和|m·n|≤|m|·|n|是課本中已有的知識點，但是不少學生僅僅只是了解，更別談應用.這時，一方面我們教師應該敏銳地觀察到這一點，通過典型例題，加強這個知識點的運用；另一方面，在學生陷入題海戰術時，要做好“引路人”，在引導學生“如何思”“如何想”的同時，幫助學生挖掘問題的本質，抓住問題的生長點，最終解決問題.