淺析2019年浙江省數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題*

(湖州市第二中學(xué),浙江 湖州 313000)

(湖州市教科研中心,浙江 湖州 313000)

繼2018年浙江省數(shù)學(xué)高考更換壓軸大題題型之后，2019年亦如外界所“期待”的，依舊以導(dǎo)數(shù)題壓軸，這凸顯了函數(shù)在數(shù)學(xué)高考中的重要地位.而本道壓軸題背景公平熟悉，試題表述簡潔精準(zhǔn),設(shè)問由淺入深，梯度明顯.而試題的設(shè)計(jì)返璞歸真，著重考查“邏輯推理”與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”等重要的學(xué)科核心素養(yǎng).縱向?qū)Ρ?018年數(shù)學(xué)高考?jí)狠S大題，筆者認(rèn)為：2019年壓軸大題除了傳承“浙江卷”所一貫重視的挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)之外，對(duì)學(xué)生的推理、歸納猜想、運(yùn)算技巧等綜合數(shù)學(xué)能力的要求更高了.下面筆者從試題的“解法”“思想”“素養(yǎng)”等多方面解讀這道壓軸好題，望讀者批評(píng)指正.

(2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

1 “庖丁解牛”，說解法

1.1 單調(diào)性求解，波瀾不驚

這里是本題的第一道“關(guān)卡”.函數(shù)求導(dǎo)并通分之后，導(dǎo)函數(shù)的“正負(fù)號(hào)”并不直觀.而接下來的處理方式通常有兩類：

2(t2-1)-3t=(t-2)(2t+1),

于是當(dāng)t>2,即x∈(3,+∞)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1

2)利用平方差公式對(duì)分子進(jìn)行有理化，即

總之，求導(dǎo)、通分、因式分解都是求單調(diào)區(qū)間的常規(guī)套路，只不過細(xì)節(jié)處理上略有不同.

1.2 不完全歸納，先猜后證

再分析第2)小題.粗看這是一個(gè)典型的“全稱命題求參數(shù)范圍”問題，然而常規(guī)方法“參變分離”無法實(shí)現(xiàn)，“分類討論”便是唯一選擇.但討論方向又頭緒繁雜，令人望而卻步，于是想到從原題的必要性條件入手，“特殊點(diǎn)代入”能簡化討論類別.

1.3 主元轉(zhuǎn)換，換元輔助

面對(duì)多元問題，如何化繁就簡、排除干擾是解題關(guān)鍵所在，這亦是本題的又一道“關(guān)卡”.著名數(shù)學(xué)家波利亞曾指出：“當(dāng)原問題看來不可解時(shí)，人類的高明之處就在于會(huì)迂回地繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某個(gè)恰當(dāng)?shù)妮o助問題”.于是，可以利用換元等函數(shù)構(gòu)造工具達(dá)到化繁就簡、排除干擾、簡化計(jì)算的目的.

從而

而

2 溯源真題，尋方法

綜合以上解法，第2)小題的必要性可取特值點(diǎn)，蘊(yùn)含著從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，而后續(xù)的函數(shù)不等式證明問題中，涉及換元思想、主元轉(zhuǎn)換、有理化計(jì)算、隱零點(diǎn)設(shè)法，手段多元，平凡中蘊(yùn)含著美麗.然而能將眾多思想方法融為一體，著實(shí)不易，以下筆者溯源真題，例說部分精彩實(shí)用的數(shù)學(xué)思想方法.

2.1 簡化分類的工具——必要性先行

1)略；

2)若f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為8，求a的值.

(2014年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題第18題)

圖1

2.2 逆向思維的體現(xiàn)——主元構(gòu)造

例3已知函數(shù)f(x) =ln(x+1)-x,g(x)=xlnx.

1)略；

(2004年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第22題)

又b>a,得

h(b)>h(a)=0.

2.3 優(yōu)化計(jì)算的法寶——換元構(gòu)造

1)若f(x)在x=x1,x2(其中x1≠x2)處的導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln 2；

2)略.

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

化簡得

從而g(t)在(16,+∞)上單調(diào)遞增，于是

g(t)>g(16) ，

即

f(x1)+f(x2)>8-8ln 2．

由以上例子我們發(fā)現(xiàn)，這些巧妙的數(shù)學(xué)方法在過去的高考真題中經(jīng)常出現(xiàn)，然而2019年浙江卷的壓軸大題可謂“集大成者”，足見命題者的良苦用心.

3 邏輯運(yùn)算，展素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)提出了數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)：要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.其中“數(shù)學(xué)的思維”主要指向的是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.而當(dāng)我們重新回顧、品味本道壓軸大題時(shí)，發(fā)現(xiàn)它正是側(cè)重于考查這兩大核心素養(yǎng)的.

3.1 演繹歸納,相輔相成

波利亞的數(shù)學(xué)解題思想中包含這樣一個(gè)基本觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)具有雙重性，即數(shù)學(xué)既是演繹科學(xué)，又是歸納科學(xué)．而例1第2)小題解答中，“必要性探路，先猜后證”充分體現(xiàn)了“歸納”推理；在證明過程中“主元轉(zhuǎn)換，分類討論”又需要嚴(yán)謹(jǐn)扎實(shí)的“演繹”功底.事實(shí)上，恒成立取點(diǎn)是有經(jīng)驗(yàn)成分的，可以理解為非理性的直覺作用.因此在平時(shí)解題教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)并放手讓學(xué)生大膽猜想及嚴(yán)謹(jǐn)論證，體悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).正如東北師大史寧中教授所說的“學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的形成和發(fā)展，在本質(zhì)上，不是靠教師‘教’出來的，而是靠學(xué)生‘悟’出來的”[2].

3.2 運(yùn)算水平，層層遞進(jìn)

《新課標(biāo)》就數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)分成3個(gè)遞進(jìn)的層次.

筆者認(rèn)為，一道好的壓軸大題應(yīng)該為不同基礎(chǔ)、不同能力水平的考生都提供適當(dāng)相應(yīng)的思考空間，體現(xiàn)較好的區(qū)分度.而例1對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查便是根據(jù)不同水平層次，逐步遞進(jìn)的.

首先，第1)小題求解“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”，是學(xué)生熟悉的運(yùn)算對(duì)象.而求導(dǎo)、通分、因式分解也都是此類問題常見的運(yùn)算方向，此乃“水平一”.

其次，第2)小題中能利用換元、變換主元等運(yùn)算工具，將原本復(fù)雜且“無從下手”的函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成熟悉可控的二次函數(shù)(或?qū)春瘮?shù))，此乃“水平二”.

最后，以函數(shù)極值點(diǎn)為臨界值，分類討論.若要完成這兩段區(qū)間中的證明過程，則需要多次用到構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)、換元、有理化、放縮等種種計(jì)算技巧，達(dá)到了“水平三”.

事實(shí)上，數(shù)學(xué)運(yùn)算本身是一種演繹推理.“計(jì)算”與“推理”你中有我、我中有你，相輔相成.正如例1中，“推理”指明了“計(jì)算”的方向；而通過“計(jì)算”反過來又驗(yàn)證了“推理”的正確性[3].

結(jié)束語每年高考結(jié)束后總能留下許多精彩有趣的試題，值得我們?nèi)バ蕾p、探究.如果把高考試題比作夏日里盛開的一池荷花，那么高考?jí)狠S大題往往是那最嬌艷芬芳的一朵，它瓣瓣生香，又形成一個(gè)完美的整體，令人回味無窮!