一道關于拋物線的高考試題的多向探究*

(寧德市高級中學,福建 寧德 352000)

例1已知拋物線C：x2=-2py經過點(2,-1).

1)求拋物線C的方程及其準線方程；

2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于點M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A,B,求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

(2019年北京市數學高考理科試題第18題)

本題的答案是：1)拋物線C的方程為x2=-4y,準線方程為y=1；2)以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點(0,1)和(0,-3).其中第2)小題的內涵豐富，意境深邃，筆者引導學生進行了一系列的探究.

1 探究一般性

問題1由第2)小題的結論你能猜想出一般性的結論嗎？

顯然，在第2)小題中，直線y=-1為拋物線C通徑所在的直線，定點(0,1)恰為拋物線C的準線與對稱軸的交點，不妨稱之為“準點”，而定點(0,-3)恰為“準點”關于焦點的對稱點，由此不難猜想一般的情形：

整理得

x2+2pkx-p2=0.

x1+x2=-2pk,x1x2=-p2,

易求得直線OM,ON的方程分別為

即

線段AB中點的橫坐標為

進而可得以AB為直徑的圓的方程為

令x=0,得

即

可見猜想1成立,即：

2 探究綜合性

問題2以上結論揭示了拋物線C：x2=-2py(其中p>0)的特有性質，那么對于拋物線x2=2py(其中p>0),y2=-2px(其中p>0)和y2=2px(其中p>0)，有什么類似的結論？

整理得

y2-2pmy-p2=0.

y1+y2=2pm,y1y2=-p2，

易求得直線OM,ON的方程分別為

即

線段AB中點的縱坐標為

進而可得以AB為直徑的圓的方程為

令y=0,得

即

分別仿照探究1和探究2可證得拋物線C：x2=2py(其中p>0)及y2=-2px(其中p>0)的情形,猜想2成立,由此可把探究1的結論及猜想2的結論綜合為:

性質1設過拋物線C的焦點作不與對稱軸平行或垂直的直線l交拋物線C于點M,N,點O為拋物線C的頂點，通徑所在的直線分別交直線OM,ON于點A，B，則以AB為直徑的圓經過該拋物線C的“準點”及其關于焦點的對稱點.

3 探究變式

問題3以上性質揭示了拋物線頂點、焦點弦(不垂直于對稱軸)與通徑所在直線之間的內在聯系，如果把通徑所在的直線換為拋物線的準線，那么它們之間會有什么樣的內在聯系？

x1+x2=-2pk,x1x2=-p2,

直線OM,ON的方程分別為

線段AB中點的橫坐標為

進而可得以AB為直徑的圓的方程為

令x=0,得

即

性質2設過拋物線C的焦點作不與對稱軸平行或垂直的直線l交拋物線C于點M,N,點O為拋物線C的頂點，準線分別交直線OM,ON于點A，B，則以AB為直徑的圓經過該拋物線的焦點及其關于“準點”的對稱點.

4 探究推廣

問題4性質1和性質2分別揭示了拋物線頂點、焦點弦(不垂直于對稱軸)分別與通徑所在的直線、準線之間的內在聯系，如果把頂點O推廣為拋物線上的任意一點P，那么以AB為直徑的圓能否經過某兩個定點？

x1+x2=-2pk,x1x2=-p2,

又直線PM的斜率為

進而得到直線PM的方程為

同理可得直線PN的方程為

又以AB為直徑的圓的方程為

即

為求該圓與y軸的交點坐標，可令x=0，得

顯然，僅當xAxB為負常數時，此方程才有兩個實數解，即該圓與y軸交于兩個定點.而

可見，無法把性質1中的頂點O推廣為拋物線上的任意一點P，性質1的推廣失敗.

這時以AB為直徑的圓的方程為

即

當x=0時，上述方程為

顯然，這兩個定點恰為拋物線C的焦點及其關于“準點”的對稱點，即把頂點O推廣為拋物線上的任意一點P，性質2的結論不變.類似地，對于其他類型的拋物線，也有相同的結論.

性質3設過拋物線C的焦點作不與對稱軸平行或垂直的直線l交拋物線C于點M,N,點P為拋物線C上的任意一點，準線分別交直線PM,PN于點A,B，則以AB為直徑的圓經過該拋物線的焦點及其關于“準點”的對稱點.

特別地，當拋物線C的方程為y2=4x,點P為H(1,2)時，以AB為直徑的圓經過拋物線C的焦點F(1,0)及關于“準點”(-1,0)的對稱點(-3,0).這就是:

例2已知點F(1,0),直線l：x=-1，直線l*⊥l于點P，線段PF的垂直平分線交l*于點Q.

1)求點Q的軌跡C的方程；

2)已知點H(1,2),過點F且與x軸不垂直的直線交C于點M,N，直線MH,NH分別交l于點A,B，求證:以AB為直徑的圓必過定點.

(2017年福建省普通高中畢業班單科質量檢查文科數學試題第20題)

本題或許是上述高考試題的源頭吧！根據性質3，上述試題中的點“H(1,2)”可以放寬為“軌跡C(即拋物線y2=4x)上的一點H”，因為這并不改變原來的答案.

以上關于拋物線的性質能否推廣到橢圓、雙曲線的情形，可以引導學生繼續探究.限于篇幅，本文從略.

以上通過對一道高考試題的多向探究，得到了拋物線的頂點、焦點弦與通徑所在直線的關聯性質及其變式和推廣，揭示了問題的本質和規律，使學生經歷了在教師指導下的“問題—猜想—探究—結論”的“再創造”過程，親身體驗和品嘗探究的曲折和成功的喜悅.這無疑有助于學生對圓錐曲線問題的深度學習，更重要的是有助于培養和提升學生的探究能力和數學學科核心素養.這正如《普通高中數學課程標準(2017年版)》所指出：在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的形成和發展.