立足課程標準 導向數學理解*
——以近4年浙江省杭州市數學中考試題為例

(富陽區教育發展研究中心,浙江 杭州 311400)

2016年浙江省杭州市數學中考命題組提出“研究數學、專注教學、關心學生”的考查方向，杭州市數學中考試卷(以下簡稱“杭州卷”)連續4年踐行初心，重視基礎知識和概念內涵，關注問題解決的一般方法，指向數學素養.持續傳遞立足課標、理解數學的理念，形成了“重視基礎知識，重視數學本質，導向核心素養培育”的特色.

1 重視基礎知識

義務教育數學學科第三學段內容為數與代數、圖形與幾何、統計與概率這3個板塊，不同的知識板塊教學重點各有側重，杭州卷立足課標，重視對3個板塊基礎知識和基本技能的考查.

1．1 運算能力

有理數教學是初中數學學習的起點.《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》)對有理數運算的要求：能比較有理數的大小……，掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算.可見，數的范圍擴展到有理數以后，有理數的學習就是負數的學習，有理數運算的重點是負數參與的運算.如：

例1計算下列各式，值最小的是

( )

A．2×0+1-9 B．2+0×1-9

C．2+0-1×9 D．2+0+1-9

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第1題)

先來看這個問題的設計立意：該題的運算對象是有理數，涉及的運算為有理數的加、減、乘，涉及有理數加法、減法、乘法的運算法則；是對運算程序的考查，同時注意到每一個計算結果都是負數，需要進一步對負數進行大小比較；很好地體現了《課標》對有理數的性質及運算的要求，區分出中小學階段有理數教學的學習差異.

方方同學的計算過程如下：

請你判斷方方的計算過程是否正確，若不正確，請你給出正確的計算過程．

(2016年浙江省杭州市數學中考試題第17題)

該題用意深刻，括號內是小數減大數，體現了初中階段有理數教學的基本要求.有理數的代數性質除了運算規律還有運算律，如何考查運算律是一個難題.本題巧妙地化解了這個難題，把乘法對加法的分配律巧妙地鑲嵌在這個糾錯運算中，要求學生充分理解分配律的適用范圍和運算規律.

兩個試題均質樸無華，考查的內容都是有理數的運算，試題給教學的啟示是有理數教學需要明確其教學任務，即有理數的大小性質、有負數參與的運算以及運算律是教學的核心.有理數的運算本質上就是用運算律使運算更加合理、準確.

1.2 幾何圖形整體處理能力

平面幾何主要研究幾何量之間的數量關系和位置特征，最重要的是對稱性、平行性和度量研究，其基本圖形是等腰三角形、平行四邊形和直角三角形.對稱的本質是“保長”“保角”，平行性的本質是方向差.幾何的根本在于度量，度量的工具在于面積公式、勾股定理和相似的性質.

第三學段《課標》要求：探索并理解平面圖形的平移、旋轉、軸對稱…….下面看杭州卷的呈現方式：

圖1

例3如圖1，折疊矩形紙片ABCD時，發現可以進行如下操作：1)把△ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，折痕為DE，點E在AB邊上；2)把紙片展開并鋪平；3)把△CDG翻折，點C落在線段AE上的點H處，折痕為DG，點G在邊BC上．若AB=AD+2，EH=1，則AD=______．

(2018年浙江省杭州市數學中考試題第16題)

這是一個折疊問題，折疊的本質是對稱，通過對稱可以實現等量關系的傳遞.矩形作為一個特殊的平行四邊形，自身就具有豐富的對稱性.以矩形為載體，把幾何圖形的對稱性和度量結合考查，凸顯命題人對幾何本質的理解以及對《課標》的準確把握，題目不難但回味悠長.

1.3 數據分析和處理能力

《課標》要求：體驗數據收集、處理、分析和推斷的能力……，可見統計學習的核心目標是發展數據分析觀念、數據分析的能力以及對統計對象數字特征的理解和運用能力.

統計研究往往是建立在數據背景下的研究，本質上是歸納法[1].初中階段統計內容的學習更多的是關注學生數據處理觀念的培養，讓學生理解在不損失信息的前提下，對樣本數據從不同的角度作出分析的意義，能用少量的信息還原總體特征.

例4點點同學對數據26，36，36，46，5■，52進行統計分析，發現其中一個兩位數的個位數字被墨水涂污看不到了，則計算結果與被涂污數字無關的是

( )

A．平均數 B．中位數

C．方差 D．標準差

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第5題)

每一種統計量對一批數據的考查目標是不同的.中位數只與數據的位置有關，只受一組數據最為居中的一個(或兩個)數大小的影響，只要數的位置不改變(也不增減數據)，只調整中位數前后的數據大小，這一組數據的中位數不會發生變化.

例5測試5位學生的“一分鐘跳繩”成績，得到5個各不相同的數據．在統計時，出現了一處錯誤：將最高成績寫得更高了．計算結果不受影響的是

( )

A．方差 B．標準差

C．中位數 D．平均數

(2018年浙江省杭州市數學中考試題第4題)

從統計的角度看，平均數(均值)和中位數都用來刻畫一組數據的集中程度，在數據分布正態(對稱)的情況下是一樣的，但是數據分布偏態(不對稱)的情況下，均值會出現偏差，中位數就需要承擔刻畫數據集中程度的作用.這個問題帶來的啟示：統計教學中需要幫助學生理解作為數據集中程度的指標，中位數與平均數相比有其獨特的意義和價值，此題巧妙地詮釋了中位數的意義.

例4和例5這兩個中位數問題考的是數據處理的理解水平和基本觀念，簡潔靈動，高水平的題目根植于命題人深厚的數學水平.

例6某計算機程序第一次算得m個數據的平均數為x，第二次算得另外n個數據的平均數為y，則這m+n個數據的平均數等于______．

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第12題)

表面上看，這是在考查加權平均數，但背后意義深遠：隨著科學的飛速發展、大數據時代的到來，統計越來越顯示出重要性，以往的線性計算平均數的方式無法滿足大數據處理的需要，計算科學發生了深刻變革，平行計算是新的處理數據的方式，其原理就是簡簡單單的加權平均數公式，該公式承載了統計功能的深刻變化，此題就是幫助教育者感受這一深刻變革.

2 體現目標層級

《課標》將知識與技能的描述劃分為3個層級：了解(知道與模仿)、理解(獨立操作)、掌握(應用與遷移)，每一目標層級對應不同的能力水平要求.

2.1 依據目標層級設定考查深度

概念教學的目標分為“了解、理解、掌握”等層級水平，命題的深度也分為了解、理解(掌握)、應用[2]，這是《課標》的要求.

史寧中老師曾經就“三角形內角和”談過目標層級的理解.《課標》要求探索并掌握三角形內角和定理.了解：知道三角形內角和為180°；理解：還知道一個三角形不能有兩個鈍角、四邊形內角和為360°；應用：知道三角形外角和為360°等等.

例7在△ABC中，若一個內角等于另兩個內角的差，則

( )

A．必有一個內角等于30°

B．必有一個內角等于45°

C．必有一個內角等于60°

D．必有一個內角等于90°

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第7題)

這個問題顯然是在考查“三角形內角和”，依據《課標》和史寧中老師的分析來看，這個考題恰到好處地體現了目標層級的要求.

2．2 依據目標層級設置題目類型

《課標》對應用題的要求：能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.

例8已知九年級某班30位學生種樹72棵，男生每人種3棵樹，女生每人種兩棵樹．設男生有x人，則

( )

A．2x+3(72-x)=30

B．3x+2(72-x)=30

C．2x+3(30-x)=72

D．3x+2(30-x)=72

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第4題)

根據等量關系抽象出方程模型，起始于七年級一元一次方程內容，是體驗數學思想方法的重要起點.注意到近4年杭州卷的應用題都是考查抽象建模，沒有繁雜的類型和解法，體現《課標》要求，引領教學回歸根本，大工不巧，大巧若拙.

3 回歸內容本質

杭州卷立足思想方法和數學理解，理性回歸知識本質，不超綱不越界，章法清楚不遮掩，直指素養.

3.1 函數問題去解析化

依據《課標》要求，杭州卷對函數的考查聚焦解析式、圖像、性質.利用圖像的位置特征、圖像的幾何特征、函數性質的代數刻畫以及函數與方程、不等式的內在聯系研究問題，是函數學習和考查的重點.

例9設二次函數y=(x-x1)(x-x2)(其中x1，x2是實數)．

2)寫出二次函數圖像的對稱軸，并求該函數的最小值(用含x1，x2的代數式表示)．

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第22題)

此題起點于函數解析式，落腳于函數單調性，可以借助圖像，也可以借助代數推理解決問題，凸顯了二次函數的研究本質以及數形結合、分類討論、化歸歸納、函數方程等重要的數學思想方法.

例10設二次函數y=ax2+bx-(a+b)(其中a，b是常數，a≠0)．

1)判斷該二次函數圖像與x軸的交點的個數，說明理由；

2)若該二次函數圖像經過A(-1，4)，B(0，-1)，C(1，1)這3個點中的其中兩個點，求該二次函數的表達式；

3)若a+b<0，點P(2，m)(其中m>0)在該二次函數圖像上，求證：a>0．

(2018年浙江省杭州市數學中考試題第22題)

這個問題提供給學生的解決途徑非常寬泛，既涉及二次函數的解析式、圖像、性質，又巧妙地將函數、方程、不等式問題加以關聯，體現《課標》要求.

聚焦函數，不摻雜幾何問題，回歸知識根本屬性，這是杭州卷考查函數問題的方式.

3.2 三角函數去函數化

初中階段三角函數不是作為函數來研究的，《課標》將三角函數知識置于相似三角形板塊：知道30°，45°，60°的三角函數值……能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.

圖2

初中階段三角函數的本質是直角三角形的邊角比，用來解直角三角形，并不涉及“函數”，之所以稱為“三角函數”，實際上是概念泛化.高中解斜三角形的學習方法與初中完全類似，本質是邊與角的更一般關系的表示，這些內容都屬于古希臘托勒密時代的“三角學”，并非現代意義的三角函數.

例11如圖2，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊(OC⊥OB，點A，B，C，D，O在同一平面內)．已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，則點A到OC的距離等于

( )

A．asinx+bsinxB．acosx+bcosx

C．asinx+bcosxD．acosx+bsinx

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第9題)

與其說這是一個三角函數問題，不如說這是一個幾何問題，三角函數起到了轉化“直角三角形中的邊角關系”的作用，不超綱不越位，恰如其分.

3．3 幾何問題去解析化

依據《課標》可知，“發展空間觀念，幾何直觀、推理能力”是初中平面幾何能力的培養核心要求.按照《課標》劃分，解析幾何屬于高中階段的學習內容，杭州卷堅持圖形性質、圖形變化等基礎問題研究，關注研究的基本方法.

圖3

例12如圖3，把某矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊(點E，H在邊AD上，點F，G在邊BC上)，使點B和點C落在邊AD上同一點P處，點A的對稱點為A′，點D的對稱點為D′．若∠FPG=90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則矩形ABCD的面積等于______．

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第16題)

這是基于軸對稱視角的折疊問題，既可以直接使用特殊三角形，也可以構造全等三角形，還可以利用相似三角形等各種圖形的性質解決問題.涉及到勾股定理、三角形面積等基礎知識，無需動用解析法，不適合采用解析法.

4 導向數學理解

4.1 理解數學是根本

圖4

例13如圖4，已知正方形ABCD的邊長為1，正方形CEFG的面積為S1，點E在邊DC上，點G在BC的延長線上．設以線段AD和DE為鄰邊的矩形的面積為S2，且S1=S2．

1)求線段CE的長;

2)若點H為邊BC的中點，聯結HD，求證：HD=HG．

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第21題)

從問題解決的視角看，此題涵蓋了正方形、直角三角形、等腰三角形等特殊圖形，用勾股定理、等積變形等基本計算，考查的是核心知識及方法.

從命題的視角看，此題中度量是本質，所呈現的是簡單度量，背后蘊含著找線段黃金分割點的構圖法：點E是線段CD的黃金分割點，線段CE的長度是方程x2+x-1=0的一個實數根.學生無需懂得背后深奧的原理，只需要根據題意，利用方程刻畫出圖形間所具有的等量關系即可解決問題，舉重若輕源于深厚的理解.

4.2 問題解決的一般觀念是追求

杭州卷注重問題一般化的研究，追求解決問題的一般思路，在代數、幾何甚至統計問題中多有體現.

圖5

例14如圖5，已知銳角△ABC內接于⊙O，OD⊥BC于點D，聯結OA．

2)點E在線段OA上，OE=OD，聯結DE，設∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED(其中m，n是正數)．若∠ABC<∠ACB，求證：m-n+2=0．

(2019年浙江省杭州市數學中考試題第23題)

問題解決的一般思路體現在兩個方面：其一，在圓的相關性質中，圓周角的性質是圓所特有的，此題第2)小題若借助圓周角解決則會非常簡潔，堪稱圓周角問題的極致;其二，第2)小題的解決回避了特殊的度數，將問題上升到更為一般的層面，根據變化過程中的不變性和特殊性，找出更為一般的結論.正如著名數學家陳省身教授1980年在北京大學講學時提到一個觀點：數學不是羅列更多的現象，也不是追求更妙的技巧，而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規律和答案.

5 思考與啟迪

中考卷不僅具有選拔區分功能，更是一種教學導向，可以看出杭州卷對教學的引領：

5.1 以生為本

杭州卷的考查方式直接減少學生不必要的負擔，將師生重新帶回課堂，尋求對數學本質的理解.“關心學生”,這是杭州市初中教師在2016年提出的理念，時至今日，杭州卷用行動表明關心學生的初心未改.

5.2 引領教學

考查學生的數學理解水平，就是在考查教師的理解水平，只有教師具有充分數學實質性結構知識，才能有效地引導學生用數學的眼光看世界[3].杭州卷更深遠的思考在于引領教師研究數學，理解數學.在杭州卷的努力之下，命題回歸數學本源，用一般觀念指導教學等理念已經逐步得到認可.

5.3 數學育人

真正的教育應該是以學生的發展為本，這是最核心的教育理念.學生面對更高學段的學習，理解知識內部原理，“會學習”是根本.杭州卷用行動對接課程理念，用心良苦，展現了數學育人的基本范式.