深挖課本 深入探究 深度理解*
——以一堂數學實驗拓展課設計為例

(七寶中學，上海 201101)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》將“把握數學本質，啟發思考，改進教學”作為數學課程的基本理念之一，要求數學課堂從數學問題的本質出發，通過適當的教學設計促進學生對知識的理解掌握.另一方面，基于學校創建“研究型”高中的目標，借助于拓展課這一較為開放的載體，能夠更好地進行課堂設計以體現促進學生研究、創新的育人要求.

1 “源于課本，寬于課本，高于課本”的拓展型校本課程設計

高中數學總是給學生一種復雜無用、枯燥乏味的印象，高強度的抽象性和知識量使得學生在學習中遇到較大阻礙，從而很難對概念本質進行理解，將所學知識進行串聯和融會貫通.作為沒有高考指標性要求的數學拓展課的首要任務，即將所學知識點與現實世界的聯系進行深入剖析，拉近數學與學生的距離，將其去抽象化，體現“應用”二字.因此筆者的拓展型校本課程設計提出了“源于課本，寬于課本，高于課本”的整體理念，以“數學實驗”的形式為載體，意在幫助學生更好地理解課本知識.

高中數學實驗課可從廣義和狹義兩個角度理解.廣義上的數學實驗，即通過在數學的背景下，經歷設置情境或提出問題、問題理解和轉化、動手實踐驗證，再到解決問題的一系列過程，達到應用數學知識和技能、強化知識理解、提升思維訓練的目的，實驗教學過程中學生經歷的過程需被強調和重視.而狹義上，數學實驗需關注實驗的模式，包括動手制作、數學軟件學習、問題的探究、驗證性實驗的設計和實施等.對高中生而言，數學實驗應是依附于日常學習的，課本知識的拓展與深入也應是抽象概念和問題的具體驗證和實現.為此，數學實驗拓展課嘗試挖掘數學教材、課外輔導和拓展材料、數學試題等資源中能夠用于動手操作、小組討論或數學建模的相關內容，進行遞進的、有層次的安排和設計.在拓展課中加入基礎數學課來不及或沒有條件提及的內容，是基礎課堂內容的深入、拓展、引申等，這一點也充分體現了“寬于教材，高于教材”的理念.

2 “制作彎管”教學設計

以下就“制作彎管”一課為例，分析數學實驗拓展課的設計與教學.本課基于滬教版教材《數學》高一下半學期“探究與實踐”相關內容設計，涉及三角函數、函數y=Asin(ωx+φ)、立體幾何等知識點.

課本內容介紹了直角彎管的背景，提出問題：兩節圓形管焊接而成的彎管，其中每一節都是斜截圓柱而成，如果把其中一個斜截圓柱的側面剪開攤平，問截口展開的是什么曲線，函數解析式是什么，并自己動手制作，進而聯系實際，要求計算制作一個直角彎管，約需要多少面積的材料.整個活動的敘述較為簡單，筆者對其進行了改進和豐富，形成一堂約3～4課時的數學實驗拓展課，該堂課可安排在高一下半學期或高二上半學期作為三角函數知識點的鞏固進行.

2.1 教學目標

1)通過探究，體會三角函數圖像與立體幾何的聯系，了解其幾何性質，探索y=Asin(ωx+φ)中各個參數對幾何圖形的影響；

2)通過動手制作，體會課本知識在現實中的應用.

2.2 教學重、難點

教學重點：直角彎管截口展開圖形的擬合和理解，y=Asin(ωx+φ)中各個參數對圖形的影響.

教學難點：直角彎管截口展開圖形所對應函數y=Asin(ωx+φ)中各個參數的確定及其關系的尋找，立體圖形與平面圖形之間的轉化.

2.3 實驗內容

1)根據提供的材料制作彎管，猜想圓柱截口展開后的形狀；

2)測量長度嘗試擬合斜截圓柱口輪廓曲線的函數解析式；

3)思考和探究各個參數對成品的影響；

4)根據現實問題計算制作斜截圓柱所需要材料的面積，探究彎管截口展開的函數解析式，自己動手在白紙上繪制函數圖像，剪裁并制作彎管.

2.4 教學過程

1)數據計算.

我們身邊的各種風道、煙道經常會出現兩根或多跟直管道拼接成彎管的情形，如圖1所示.如果是兩根圓柱形管道拼接，你是否思考過接口的形狀呢？對于直角彎管而言，我們考慮將其截成相同的兩段，研究其截口.

圖1

以下我們將嘗試對彎管展開后截口的曲線所對應的函數進行擬合，并自己動手制作彎管.

①將提供的材料沿函數曲線剪下(注意取一個周期)，在白紙上將函數描出，并將其拼成兩個圓柱形，看是否能夠制成直角彎管.

表1 等分點與其對應點之間的距離 cm

假設合適的函數解析式，利用描點的數據計算解析式中各參數的值.

設計意圖通過觀察，學生應很容易發現截口曲線所對應的函數是正弦型函數，但是這個結論將立體幾何和三角函數相結合，對學生常規的認知來說是陌生的，這為進一步的驗證提供了理由.這里要求學生對曲線進行擬合，一方面是驗證截口所對應的函數是三角函數，另一方面也提供了一種探究函數解析式或曲線方程的方法.

2)理論探究.

通過擬合實驗，不難發現圓柱形彎管截口展開后的輪廓符合函數y=Asin(ωx+φ)+B，那么A,B,ω,φ這些系數對彎管的形狀和大小會產生什么影響呢？

問題1試探究，加工一個直徑為1米、整體高度為5米的圓柱形直角彎管，需要怎樣剪裁鐵皮.

圖2

①將直角彎管截成相等的兩段，嘗試畫出其中一段的側視圖，如圖2.

②計算所需要數據的值，思考：三角函數的哪些參數會對圓柱形彎管的形狀(截口形狀、表面積、容積)產生影響？

設計意圖這一部分的探究結合現實中可能碰到的情況，提出一個思考，即如何在不作實物展開測量的前提下計算用料.通過幾何計算，引導學生在該問題中將彎管切割并重新拼合，構成一個熟悉的幾何體，關注圓柱高的差、圓柱的直徑，及45°角的作用和各個量的聯系.讓學生猜想，并提供計算的方向，引發后續深入的思考.

問題2對“問題1”中的模型，確定截口展開曲線符合y=Asin(ωx+φ)中的各個參數.

問題3思考y=Asin(ωx+φ)+B中參數不同的取值對制作成品的影響.

3)制作彎管.

用一張A4紙自制一個圓柱直角彎管，使其容積盡可能大.請先給出設計方案、明確制作步驟，再動手進行制作(思考：如何僅用刻度尺繪制函數曲線；如何確定各項參數，使得容積最大).

設計意圖進一步加深問題難度，與幾何體體積再進行聯系，使問題更具現實性、開放性和創新性，也是將整堂課最后回歸到現實.同時要求學生自行動手制作，運用本節課所學，經歷計算—描點作圖—裁剪—拼接制作的過程.

4)深入探究.

希望同學們能夠在課后對以下問題進行思考討論，或是受此啟發探討其他彎管截口相關的問題，并能夠動手計算制作，建立數學模型，以尋求較適合的結論.

探究1從用料面積的角度出發，嘗試探究：如何計算制作一個鐵皮直角彎管的用料，對相同容積的彎管，如何裁剪最省料(表面積最小)？

探究2如果彎管連接處為非直角，如兩段管道呈120°或60°，則截口曲線會發生什么變化？

探究3管道形狀為非圓柱形，如直四棱柱、直六棱柱等形狀，截口形狀會發生怎樣的變化？該如何設計？何種形狀的管道單位面積材料下的通氣量最大？

探究4彎管截口的截面是橢圓，結合圓錐曲線的各個參數和性質，試尋找正弦型函數與圓錐曲線的關系.

設計意圖給學生設置課后探究題最主要的目的是為學生打開思路，希望其形成思考的慣性，體會如何在生活中發現問題、運用數學，面對復雜的問題嘗試去解決，體會如何從特殊的情況入手，將問題研究的方法遷移到更復雜的情形中去，如何將現實與數學相連接.

3 教學反思及拓展課實踐總結

3.1 學生課堂表現及反饋

通過課堂實踐，學生對數學實驗相關拓展課的內容及選題均表現出一定的興趣，也能夠根據學習單上的要求進行深入探究和動手制作.數學實驗拓展課的主要形式是將本節課的內容印在學習單上，要求學生自行閱讀問題，按照學習單的要求進行操作，也就是說學生的探究過程有較高的自由度，教師僅起到觀察和引導的作用.

而在實踐過程中體現出一些問題，如由于學生個體的差異，部分學生對問題中參數的確定和相互之間的關系無法正確把握，有部分學生則能很快得到答案，造成教學進度難以控制.對有困難的學生，教師建議以小組討論的形式相互指導，也在部分時候直接給予啟發，這樣對探究的效果多少會產生影響.部分學生對動手制作任務的態度有些敷衍，這也影響了最終的效果.

可以看到，學生對數學的印象仍是傳統的動筆算、動腦思考、回答問題，對數學與實際聯系的意識仍較為薄弱.本節課的設計正是希望學生經歷“發現問題—設計實驗—探究嘗試—形成方案—解決問題”這樣一個現實問題解決的過程.同時也將數學建模過程中從現實問題到現實模型建立到數學模型建立到數學問題解決，再到結論返回現實的整個過程融入其中.而從實踐中也能看出另一方面的問題是，高中學生的動手能力有待加強.

3.2 數學實驗拓展課設計的思考

“數學實驗”拓展型校本課程是一套覆蓋高一高二4個學期的系列課程，整個課程的取材理念力求源于教材或是習題，希望從學生熟悉的內容入手進行深挖和設計，進而回饋學生的數學知識認知體系.同時，課程內容的設計也希望能夠盡可能將學生所學的數學與現實相聯系.因此，筆者在本次拓展課設計中借用了教材內容，但遠超出了教材內容.

在實踐中，無論是哪個版本的教材，由于沒有高考的要求，相信教材中的探究性或拓展性內容的實踐都存在一定的水分[1].筆者認為，拓展型課程正為此提供了較好的舞臺.而另一方面，教材的大多數內容在設計方面都顯得較為簡略，需進行后期設計，其中的關鍵點應是如何在設計和課堂進行中把握好學生的探究和研究，形成具有普適性、針對性和目的性的材料供學生使用，值得進一步思考.