巧用函數觀“點” 提升數學素養*

(金華市技師學院，浙江 金華 321017)

數學核心素養是課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的[1].本文以函數經典題型為載體，以數學思想方法為依托，以數學能力為特征，探究函數解題的通性通法.筆者通過自己的教學發現，要突破某些函數“重點與難點”問題，必須抓住一些關鍵的“點”，比如切線問題(切點未知的情況下)要設“切點”，最值問題圍繞“零點”“極值點”和“端點”展開研究.把握這些“特殊點”，對培養學生“從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系”的數學核心素養有很大的幫助.

圖1

1 極值問題防“拐點”

拐點的定義一般地，設y=f(x)在區間上I連續，x0是I的內點(除端點外的I內的點).如果曲線y=f(x)在經過點(x0,f(x0))時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(x0,f(x0))為該曲線的拐點[2].拐點在數學領域是指凸曲線與凹曲線的連接點(如圖1所示).

對于高中生來說，不需要了解拐點的嚴格定義，但是需要清楚“f′(x0)=0”是“x0為函數y=f(x)的極值點”的必要非充分條件.不理解這個道理，學生在解相關問題時，邏輯推理不夠嚴謹容易犯錯.

因為a有兩個解，所以導致部分學生做出f(2)有兩個解的誤判.事實上，當a=1時，

f′(x)=(x+1)2≥0，

從而f(x)單調遞增，不可能有極值.因此，極值問題一定要防“拐點”，正確運用“f′(x0)=0”是“x0為函數y=f(x)的極值點”的必要非充分條件，以免解題時造成不必要的錯誤.

解因為f′(x)=x2+2a2x+a，由題設知

f′(-1)=-2a2+a+1=0，

解得

當a=1時,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,從而f(x)在R上是增函數，沒有極值.

解得

b=-1，

故

2 切線問題設“切點”

對于切線問題，以下例2中的3個小題非常具有代表性.

例21)曲線g(x)=ex-2在點(0,-1)處的切線方程是______．

2)過點(0,-1)作曲線f(x)=lnx的切線，則切線方程是______．

3)求與曲線f(x)=lnx和曲線g(x)=ex-2都相切的直線方程.

分析對于第1)小題,由已知切點(0,-1),求出g′(0)=1，便可得切線方程為y=x-1.

第3)小題是第1)和第2)小題的拓展，兩個切點都未知.設曲線f(x)=lnx上的切點為(x1,lnx1)，則切線方程可表示為

同理曲線g(x)=ex-2上的切點為(x2,ex2-2)，則切線為

y=ex2(x-x2)+ex2-2.

由公切線知兩切線的斜率相等、截距相等，得到關于x1,x2的方程組

將式(1)代入式(2)，消去x2可得

從而

解得

故切線方程是y=ex-2與y=x-1.

該題可以用如圖2所示的思維導圖來清楚地解釋切線問題.

圖2

總之，對于已知切點的問題可通過求出切點處的導數求出切線方程；對于切點未知的問題只要“設切點”，列出關于切點的方程，求出切點便可求出切線.

3 最值問題踩“兩點”

函數的最值主要是在“端點”處的值和“極值點”處的值取到，從而這里的兩點指的是“極值點”和“端點”.

分析f(x)的圖像不經過第四象限，即f(x)≥0在x∈[0,+∞)上恒成立,從而

1)當a<0時，f′(x)>0,得f(x)在[0,+∞)上單調遞增，f(x)≥f(0)=0，從而f(x)在端點處取到最小值，符合題意.

2)當a>0時，因為x∈[0,+∞)，所以

即

圍繞“端點”和“極值點”展開研究，在“當a>0時”的情況下抓住這兩點,減少了對單調性的討論研究，使得解題更加便利.

4 負分布破“零點”

1)求f(x)的導函數；

分析1)略.

表1 f(x)，f ′(x)隨x的變化情況

圖3 圖4

面對經濟、科技的迅猛發展和社會的深刻變化，面對國際競爭提升的需求，新時代呼喚優秀的數學人才.而高中數學是基礎學科，承載著塑造“通過運算促進數學思維發展，形成規范思考問題的品質，發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題”能力的新一代重任.當下，以數學素養為核心的教學改革工作正在全面展開，堅守“數學教學是數學思維的教學”和“數學能力是在不斷踐行解決數學問題中形成”的理念，科學處理好數學教學中“講”與“練”的關系，是教學實踐向提升數學素養轉化最現實的問題.本文旨在培育學生運用“從特殊到一般”的推理方法解決函數問題，學會抓住關鍵“點”，從“點”窺視函數的特征，從而減輕學習負擔，提升學習效率.