小學高年段空間觀念測評體系研究

（山東省教育科學研究院，山東 濟南 250002）

圖形與幾何是小學數學四大課程內容之一，小學階段是學生空間觀念發展的重要時期.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準2011年》）將“空間觀念”作為十大核心詞之一，并在課程總目標中提出：“在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運動和位置的過程中，發展空間觀念.”[1]那么，究竟空間觀念的內涵是什么？小學階段空間觀念是如何表征的？小學階段空間觀念的發展水平是如何劃分的？如何編制量表測試學生空間觀念的發展水平？小學高年段圖形與幾何教學內容比較密集，教學質量的高低直接影響著小學生空間觀念的發展.以青島版小學數學教材相關內容的編排為研究載體，嘗試構建小學高年段空間觀念的可操作定義，并通過實證研究，探索小學高年段空間觀念的測評方法，為一線教師開展幾何教學提供可操作性的參考和借鑒.

1 空間觀念內涵的再認識

1.1 空間觀念的內涵

空間是物質存在的一種客觀形式.觀念是客觀事物在人腦里留下的概括形象.那么，空間觀念的含義如何？不少學者從不同的角度對空間觀念的內涵做了界定，但在認識上還不一致.美國新澤西州的數學課程框架認為：空間觀念是對于圖形和空間的直觀感覺,它涉及傳統的幾何概念，例如對于幾何圖形的識別、想象、表征、變換的能力；也包含其它的一些非正式的方式去看待二維和三維的空間，例如折紙、鑲嵌、對稱、投影等[2].NCTM（全美數學教師理事會，1989）指出，空間觀念是對一個人周圍環境和實物的直接感知；對于二維三維圖形及其性質的領會和感知，圖形之間的相互關系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面[3].孫曉天、孔凡哲和劉曉玫3位學者認為，空間觀念是學生主動、自覺或自動化地“模糊”二維和三維空間之間界限的一種本領，是學生對生活中的空間與數學課本上的空間之間密切關系的領悟[4].史寧中認為，空間觀念是把三維空間的物體抽象成二維圖形，研究的問題主要是位置關系、變化規律[5].王煥勛在《實用教育大辭典》中指出，在空間知覺的基礎上形成的關于物體的形狀、大小及其相互位置關系（方位、距離）的表象.小學數學的幾何初步知識教學中，讓學生感知實物、模型、圖形，學生也就形成了空間觀念，即獲得線、角和簡單平面圖形和立體圖形的形象，能對不太遠的物體間的方位、距離和大小有較正確的估計，能從復雜的圖形中區分出基本圖形[6].《標準（2011版）》是從活動特征來看空間觀念的具體表現：根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等[7].基于此，對“空間觀念”的相關研究主要以《標準（2011版）》為理論依據和基礎.

1.2 空間觀念的表征

從心理學的視角看，與空間觀念有著緊密聯系的概念有空間知覺、空間表象、空間想象和空間能力.空間知覺是指關于物體、圖形的形狀、大小及距離、方位等位置關系的知覺.空間表象是在大量空間知覺的基礎上，形成的關于物體、圖形的形狀、大小及相互位置關系的印象.空間想象是指在事物或圖形的影響下，在言語的調解下，頭腦中已有空間表現經過加工、改造、結合，產生表象的心理過程[8].空間能力是以空間形式為主要對象，以空間知覺、表象和想象為主要心理活動過程，在頭腦中進行幾何抽象、分析與綜合、判斷與推理的思維能力.是指人們順利完成空間問題解決活動所必備的個性心理特征[8].在小學，空間觀念與空間表象為主要表征形態，也包括一定的命題表征，并涉及空間知覺與初步的空間想象.

依據《標準（2011版）》對于“空間觀念”內涵的解釋，將空間觀念分為4個維度，即：根據物體特征抽象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實際物體；想象物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動與變化情況；依據語言描述圖形、利用幾何直觀手段解決問題等.4個維度構成了空間觀念的有機整體.為了表述方便，將4個維度分別簡稱為：維度1、維度2、維度3、維度4.

維度1主要指學生進行“實物的幾何化”的能力.具體地說，要求學生能夠進行幾何圖形與實際物體的相互轉換，實現映像與實物的有效銜接.比如通過對實物的觀察，可以根據其結構和特征等，歸納和抽象出它的幾何原型；也可以根據已知幾何圖形，想象出與它對接的實際物體.

維度2主要指學生想象物體方位和相互之間位置關系的能力.側重于能夠運用“準坐標”或其它系統表征出位置以及空間關系，側重方向與位置的表征.

維度3主要指學生描述圖形的運動與變化的能力.在小學階段，圖形的運動與變化主要包含軸對稱、平移、旋轉3個方面的內容，它們是變換思想的有效載體.

維度4主要指學生的語言理解和幾何直觀能力.維度4是空間觀念的重要組成部分，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.能否利用幾何圖形有效地描述、分析和解決問題，是考量一個人空間觀念的重要指標.

綜上，4個維度是一個相互貫通、相互依存、不可分割的有機整體.維度1和維度2側重于想象層面，在思維能力與想象力上存在著并列關系，是后兩個維度的基礎.維度3和維度4側重于語言描述圖形和幾何直觀能力，是前兩個維度的進一步延伸與發展.

小學數學教材中，與空間觀念關系最為密切的內容當屬“圖形與幾何”.如青島版教材高年段“圖形與幾何”教學內容共設7個單元，涉及“圖形的認識、測量、圖形的運動、圖形與位置”4方面的內容，其對應的空間觀念如表1所示.

表1 青島版小學數學教材高年段“圖形與幾何”教學內容與空間觀念的對應情況

2 小學生空間觀念的測評

2.1 空間觀念發展水平的劃分

數學素養測評離不開發展水平的劃分，空間觀念的發展要求是隨著學生年齡的增長、學習內容的增加、理解能力的提高而升級的.在厘清了空間觀念的基本內涵，了解了空間觀念的幾個維度的基礎上，將空間觀念發展水平分為“知識理解、知識遷移、知識創新”3個層次，為了表述方便，將3個層次分別簡稱為：水平1、水平2、水平3.

水平1：（完全）直觀想象階段.此水平所要完成的任務的特點是以視覺為主、基于經驗、純粹的想象，觀察分析的是單一的對象.

水平2：直觀想象與簡單分析抽象階段.完成此水平的任務時，仍以直觀想象為主，但除此之外，還需要進行一些簡單的分析、抽象，或進行基本的推理，觀察分析的對象及想象的過程較之水平1要復雜一些.

水平3：直觀想象與復雜分析階段.在完成此水平的任務時，分析、抽象和推理是在直觀想象基礎上所必須的，或者觀察分析的對象更為復雜（即經歷較為復雜的心理表象形成和心理操作過程），在大腦中要經歷較為復雜的加工組織過程[9].

上述3個水平層次呈遞進態勢，思維活動由簡單、直觀想象，向復雜、抽象發展，空間觀念也由“空間知覺→空間表象→空間想象→空間能力”循序漸進地形成，并且銜接得當，適應學生身心發展的規律.

2.2 測評試卷編制

測試題目設計是測評實施的前提條件，它既體現了對空間觀念內涵的理解，也希望通過這些題目很好地反映學生空間觀念的發展規律及水平.并以此為現實依據進行培養策略的探討.因此，在認真分析教材內容、挖掘其“空間觀念”因子的基礎上，參照國內外的相關研究，結合劉曉玫提出的關于空間觀念發展水平層次的有關觀點，精心選取素材，整理結構，編制問卷.五六年級試卷均設計了12道題，包括4個維度的考察內容，題目數量分配比為1:1:1:1；每個維度又設計了3個不同發展水平層級的題目，數量分配為1:1:1.具體見表2.

2.3 測評對象

調查樣本來自山東省6個地市（青島、煙臺、威海、泰安、棗莊、臨沂），盡可能全面覆蓋山東省東西部地區城鄉小學，以保證樣本對全省小學生具有足夠的代表性.抽樣方式采用整群抽樣，抽取的學生為小學高年段學生，樣本容量五年級3?316人，六年級2?864人.東西部地區各占50%，城區與農村學生約各占50%，男女比例約為1:1，試卷發放、收回及有效率均為100%.

2.4 測評結果與數據分析

2.4.1 學生空間觀念“維度1”發展概況

“維度1”是對學生根據物體特征抽象出幾何圖形，或根據幾何圖形想象出所描述的實際物體能力的測評.從總體上看（見圖1），五、六年級學生在“水平1”層級的測評中表現突出，兩個年級的正確率均在90%以上，說明絕大多數學生的空間觀念水平在“水平1”以上.換句話說，絕大部分學生能夠以視覺為主、基于經驗、靠純粹想象來解決問題，具備了通過直觀想象來實現實物幾何化的能力；在“水平2”層級的檢測中，五、六年級80%以上的學生，能夠準確地解決問題，說明大多數學生能夠利用直觀想象與簡單分析推理來解決問題，具備了進行平面圖形與立體圖形相互轉換的能力；“水平3”層級的測試成績不太理想，兩個年級的正確率都不足60%，說明學生的綜合分析能力和推理能力比較差，如T03（見圖2）給出了一個帶有“心形”和斑馬線圖案的正方體的平面展開圖、4個帶有“心形”和斑馬線的正方體，要求學生選擇與給定平面展開圖相對應的正方體.解答這道題需要理清3個關系：一是“心形”與斑馬線中“橫線”的位置關系（互相垂直）；二是“心形”與斑馬線中“縱線”的位置關系（互相平行）；三是折成立體圖形后“心形”所在的平面與“斑馬線”所在平面的位置關系（互相垂直）.理清這3個關系后，還需要學生利用直觀想象和較復雜的推理才能得到準確答案.這道題的測試反映出學生在綜合分析和推理能力方面還有一定的欠缺，教學時應引起重視.

圖1 維度1

圖2 題目3

表2 小學高年段學生空間觀念發展能力測評試卷雙向明細

2.4.2 學生空間觀念“維度2”發展概況

“維度2”主要是測評學生想象物體的方位和相互之間的位置關系的能力.測試結果表明（見圖3），兩個年級學生都能很好地達到水平1層級，而且兩個年級之間基本沒有差異，達成率分別為93.6%和92.8%；對于水平2，盡管五年級與六年級相比略差一些，但得分率均在 80%左右，總體表現還是比較不錯的；在“水平3”層次的測試中，兩個年級都在75%左右，與維度1水平3相比要高得多.因此說，學生在方向與位置方面空間觀念的總體發展水平還是比較高的.但是從答題的具體情況來看，學生在水平3層次的能力培養上還需要進一步加強，尤其在三維空間方位的轉換方面需要進一步強化.如五年級T06（見圖4），在給定的“準坐標系”中廣場是觀察點，而提出的問題卻是“廣場在超市的西南面，確定超市所在的位置”.要解決這個問題需要進行全面細致的分析：先觀察、分析確定已知“準坐標系”中的觀察點（廣場），再分析確定問題中的觀察點（超市），最后還要通過轉換才能得到正確的答案.此題對學生空間位置的轉換能力要求還是比較高的.

圖3 維度2

圖4 題目6

2.4.3 學生空間觀念“維度3”發展概況

“維度3”主要測評學生描述圖形的運動與變化的能力.從測試結果看（見圖5），3個水平表現得都不錯，尤其是六年級水平1層級的測試，正確率竟高達98%.兩個年級學生“水平2”層級的得分率均在85%左右；水平3層級的得分率也接近80%，與水平2相差無幾.總體來看，絕大多數學生具備了根據軸對稱圖形的特征進行直觀想象能力，多數學生能夠運用觀察物體和圖形旋轉的特征及性質，進行比較復雜的觀察與分析并合理地解決問題.

圖5 維度3

2.4.4 學生空間觀念“維度4”發展概況

“維度4”主要考察學生依據語言描述圖形和幾何直觀能力，這也是幾何教學中一項重要的解題能力.此維度同樣設計了3個水平層次的題目，總體來看，在維度4中，學生水平層級的達成度遠遠低于前3個維度（見圖6）.從兩個年級的總體上看，達到“水平1”層級的學生，分別只有79.5%和65.4%；達到“水平2”的得分率只有50%左右，“水平3”的正確率均在50%以下，尤其五年級的正確率只有39.5%.錯誤的主要原因：一是圖形的分解能力較弱.如五年級T12（見圖7），探究在九宮魔方的上面增加一個小正方體、在魔方的每個角或每個面的中心位置上挖掉一個小正方體，魔方表面積的變化情況.解決這個問題需要具有一定的空間想象力，能夠想象出不同位置上小正方體的增加（或減少）后，表面積的變化情況，并能夠通過分類討論，求得結果.卷面反映是，多數學生知道在什么情況下表面積增加了，什么情況下表面積減少了，但具體增加或減少幾個面，無法正確判斷.究其原因是學生想象不出圖形分離后的狀態，缺乏先將圖形進行分解再進行分類討論的能力.二是文字與圖形之間的轉化能力較弱.測試后訪談得知，五年級T10、T11（見圖8）和六年級T12（見圖9）的錯誤率之所以高，是因為學生雖然能看懂題意，但是缺乏將文字轉化成圖形的能力，因此就會束手無策.這些題目不僅要求學生能夠讀懂題意，還需學生能夠根據題意畫出圖形或者在腦子里想象出圖形，并借助圖形建立起數與形的聯系，從而使問題得以解決，這些都是學生的薄弱點，需要在教學中重點強化.

圖6 維度4

圖7 題目12（1-3）

圖8 題目10和題目11

圖9 題目12

3 結論與思考

3.1 主要結論

利用小學生空間觀念發展水平測試卷進行測試，通過對結果進行定量的統計分析和定性分析，結論如下.

3.1.1 小學生空間觀念的發展水平

按照直觀想象階段、直觀想象與簡單分析抽象階段、直觀想象與復雜分析階段3個發展水平劃分，得到：

（1）以測試結果為依據，五、六年級學生都能很好地達到水平1，它們之間的差異不大；在水平 2層級上六年級稍微高于五年級；在水平3的表現上，總體上看兩個年級都比較差.

（2）從測試內容來看，維度1、維度2和維度3測試結果兩個年級在水平1和水平2上的差別不大，水平1均在90%以上，水平2均在80%左右；維度4三個水平層級的表現都比較差，其中五年級水平3得分率還不到40%.

（3）兩個年級在水平3上的表現上差異不大，說明如果沒有外界的干預和刺激的作用，學生的水平難以自然提高.

3.1.2 小學生空間觀念發展的規律

小學生的空間觀念水平發展比較緩慢.這是由于其思維發展特點決定的.高年級的學生開始能夠了解事物之間的聯系，并根據種屬關系對事物進行分類和簡單的分析概括，甚至掌握一些抽象的概念等，逐步以具體形象思維為主過渡到以抽象邏輯思維為主.因此，就五、六兩個年級來說，學生思維發展水平基本在同一層面，所以其空間觀念的發展水平并沒有明顯的區別，如若深入研究其規律，則需要通過各個分項測驗以及一些具體問題的分析，才能獲得關于學生空間觀念發展的一般規律和結論.

3.1.3 小學生空間觀念發展的特點

（1）學生描述圖形的運動與變化的能力較強.

通過數據統計得知，在“維度3”的測評中，3個水平層級的達成率都明顯高于其它幾個維度，其中有85%左右的學生能達到“水平2”層級，75%以上的學生能夠達到“水平3”層級.在測試后訪談中很多學生表示，生活經驗對空間觀念的發展有較大的幫助.

（2）學生理解數學語言，運用幾何直觀解決問題的能力較弱.

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題[1].而在描述和分析問題時，學生首先需理解數學語言，并能借助幾何直觀溝通數與形的內在聯系，將較復雜的問題變得簡單、形象和明了，才能使問題得以解決.這對于小學生來說要求比較高，只有加大干預，才能有所成效.從統計數據中可以看出，“維度4”3個表現水平比其它幾個維度低很多，“水平2”和“水平3”的達成率基本上都在50%以下，這說明半數以上學生在“維度4”方面的發展能力僅限于“水平1”層級.

（3）不同地區學生的發展水平差異比較大.

統計結果顯示（見圖10），不同地區學生的空間觀念發展水平明顯存在著差異，從六地市五、六年級平均正確率統計圖中可以看出，正確率最高的D地區比最低的B地區高出23.2個百分點.這個數據說明，學生的學習方式、學生已有的認知經驗和水平、教師的教學方法、教學條件和環境等對空間觀念的形成都會產生一定的作用.正如馮·希爾夫婦所說，決定學生幾何思維發展水平的主要因素不是年齡或生物成熟程度，而是主要取決于教學的性質[10].

（4）空間觀念的水平與數學成績的關系.

從六地市提交的試卷分析及教師訪談中發現，空間觀念的發展水平與數學成績成正相關.數學成績較好的學生，其空間觀念的發展水平明顯高于數學成績較差的學生.

圖10 六地市五六年級平均正確率

3.2 反思與展望

該研究以《標準（2011年）》青島版小學數學教材“圖形與幾何”內容設置為依據，利用自行編制的空間觀念發展水平測試卷，對小學生空間觀念的發展水平、規律、特點等方面進行了剖析，獲得了相關結論，這些結論對今后“圖形與幾何”教學的改進，提供了詳實的事實依據，也為今后青島版教材的修訂提供重要參考.

測試卷的編制既是該研究的基礎，也是一件極具創造性的工作.由于測試學生“空間觀念”發展水平方面的資料、以及可借鑒性的經驗比較少，要想比較全面、系統、多水平、多角度地衡量學生空間觀念發展的水平，需要對測試卷的內容維度、水平劃分、評價標準等因素進行全方位、深入地思考，一方面使其內部一致性更高，另一方面使其每個題目測試的指標更獨立和明確.總之，每個環節都需考慮周全，才能確保測評的有效性.

綜上，構建小學生空間觀念的測評體系，是為了引領教師改進教學方式，培養學生的空間觀念和創新意識.因此，無論是空間觀念測評體系的研究，還是學生空間觀念的培養，都需要“淡化形式、注重實質”[11].