解析江蘇高考第13題，備考2019“平面向量”

余東云

【摘要】本文針對2016年江蘇高考數學卷第13題的解析，對高考試卷在平面向量專題的考查內容、涉及題型、解題方法及數學思想方法等進行分析，同時對2019年高考在平面向量專題的備考提出復習建議.

【關鍵詞】高考數學;平面向量;解題分析;考情分析;備考建議

歷年的高考試題一直是我們教學研究的主要對象，尤其是高考中的出彩試題，都是經過專家們匠心獨運，銳意創新，變換命題的視角和精心演變拓展而成，備受青睞.這些題內容深刻、設計新穎、研究豐富、區分度高，它不但能較好的檢測學生對知識的掌握，幫助高校選拔人才，而且更重要的是能夠培養學生的能力，開發學生的智力和發展學生的思維.因此，在教學中，高考題是非常有效的素材;研究高考試題，是高效教學和備考的有效途徑之一.本文對2016年江蘇高考卷第13題進行解析，對2019年高考提出備考建議.

一、高考真題（2016江蘇高考卷13題）

如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，BC·CA=4，BF·CF=-1，則BE·CE的值是.

二、真題解析

此題作為壓軸的填空題，難度較大，學生處理起來比較棘手，對學生的能力要求較高.

本題考查了平面向量的線性運算、平面向量基本定理、數量積等基礎知識;考查了抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力等基本能力;考查了方程、轉化與化歸等基本數學思想.

本題解決的問題是求向量的數量積，常見處理數量積的方法，除了用定義來處理，還有兩個思路，一是轉化法，即尋找一組向量作為基底，把其他的向量轉化到這一組向量上來解決，這組基底通常選擇已知向量或者一些特殊向量（特殊位置、長度等）;二是坐標法，即通過建立直角坐標系，利用坐標研究向量數量積，兩種實質相同，坐標法更易理解和化簡.

三、考情分析

向量是近代數學中重要和基本的概念之一，在新一輪的課改中引入高中數學，在高中數學中具有重要作用和地位，主要體現在它的“工具作用”和教育價值，同時有著極其豐富的實際意義和背景.平面向量具有“數”與“形”雙重身份，使其成為高中數學知識的一個重要的交會點，與三角函數、平面幾何、空間幾何和解析幾何都有密切的關系，因此，平面向量成為每年高考的一個必要考查點.

1.從知識上看，對平面向量的考查主要表現為平面向量的概念及線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數量積及應用，全國卷在這些方面都有涉及，江蘇卷主要側重數量積的綜合應用，2014、2015及2016連續三年考查的都是數量積的綜合應用.

2.從題型上來看，主要考查的是小題，只有極少數以向量為載體，考查三角函數和解析幾何的問題，縱觀2008年到2016年的江蘇高考卷，只有2013年考查了解答題，其他年份均以填空題出現.

3.從結構上看，既體現了知識內部的綜合應用的考查（即平面向量基本定理、線性運算、數量積的綜合應用等），又體現了知識交匯處的考查（即與三角函數、解析幾何、不等式等方面的綜合考查）.

4.從思想方法上來看，主要考查轉化、化歸、方程、數形結合等思想.其中，數形結合的數學方法的考查一直是高考的熱點.

5.從難度上來看，大多數情況下考查平面向量的題目難度都不大.涉及平面向量的線性運算和坐標運算的題目，一般為比較容易的題;有關數量積、夾角和長度的題，往往要求較高，為中等難度的題;與其他知識的交匯考查或者數量積的綜合應用，則常常構成難題.2016年江蘇卷的平面向量題是作為壓軸的填空題來呈現的，難度很大.

四、備考建議

向量作為一種既有大小又有方向的量，既具有形的特征，可以通過構造向量來處理代數問題，使問題簡單化;又具備數的特性，可以將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算.向量又是聯系數和形的紐帶，數量積是實現向量的數形轉換的關鍵.向量“數”“形”兼備的雙重身份，為數形結合思想提供了用武之地.向量融形、數于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，它的引入大大拓寬了解題的思路和方法，在研究其他問題時向量得到了廣泛應用，成為“在知識網絡交會處設計試題”的良好載體.

1.重視基礎，培養能力.在高考試題中，主要考查有關的基礎知識，突出向量的工具作用.在復習中要重視教材的基礎作用，加強基本知識的復習，比如，單位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念要清楚，對向量中的基底運算和坐標運算要準確，著重理解平面向量基本定理及共線定理.本章不必追求解難題，熱點主要體現在平面向量的數量積，坐標運算以及平面向量在三角函數、解析幾何等方面的應用.

2.回歸教材，立足根本.在高考復習中，教師一定要立足教材，回歸教材，強化教材習題的研究，不能簡單的就題論題，而應進行適當的變化、引申和挖掘，揭示其有價值的新結論、新解法.這樣做不僅能使學生產生觸類旁通、舉一反三的學習效果，而且能開闊學生的思維，發揮一題多用.同時要注重引導學生對教材習題進行一題多解，一題多變，挖掘出教材習題與高考試題的聯系，將教材習題進行組合，變式，引申，演變出高質量的備考題，使學生切實體會到加強教材習題研究在高考復習的重要性，真正做到以“教材為本”，提高備考效果

3.思想滲透，提高思維.平面向量的“數”“形”兼備的雙重身份的特殊性，使得本章的題型的處理有很大的多樣性，靈活性和綜合性，滲透的常見數學思想有轉化與化歸，方程和數形結合的數學思想.在解決有關問題的過程中，教師就應把最大的教學精力花在誘導學生怎樣去想，怎樣想到，到哪里去找解題的思路上，要將數學思想方法運用于解題的中心位置，充分發揮數學思想的解題功能──定向功能、聯想功能、構造功能和模糊延伸功能.

【參考文獻】

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[2]孫逵，韓際清.2013年高考“平面向量”專題分析[J].中國數學教育（高中版），2013（7）：32-40.