用欣賞的眼光看數學

龔輝

【摘要】數學難學似乎是不爭的事實，破解這一難點的關鍵是讓學生喜歡數學，懂得欣賞數學.本文由淺入深地探究了在數學課堂教學過程中展現數學美的方法，使學生能夠感受和欣賞數學美，從而把數學的美育功能真正落實在數學課堂上.

【關鍵詞】欣賞;數學欣賞

數學能被欣賞嗎？大家會說：數學是一堆枯燥的數字和公式、抽象的概念和定理和解不完的數學題.看來，數學是談不上欣賞.這就是目前數學教學的尷尬——數學不好學，也不好教！

怎么辦？

數學的抽象性就像一堵高墻，把美的數學世界和大家隔絕了.數學教育家張奠宙先生將數學分為“教育形態的數學”和“學術形態的數學”.作為一線教師，如何將學術形態的數學教得有血有肉、生動活潑，發揮數學的教育功能，是數學欣賞的重任，也是使學生喜歡數學、欣賞數學的關鍵.

下面筆者從欣賞數學美的三個層次談一點體會.

一、美 觀

這主要是數學對象以形式上的對稱、和諧、簡潔，給人的感官帶來美麗、漂亮的感受.

幾何學常常帶給人們直觀的美學形象.幾何圖形中“圓”是全方位對稱圖形，美觀、勻稱.從“一石激起千層浪”到“大漠孤煙直，長河落日圓”，以及畢達哥拉斯學派說：“顯然，在一切平面圖形中，圓是最美的”.

在代數方面也很多.例如，（a+b）·n=a·n+b·n;ba·dc=bdac;a+b=b+a;（a·b）n=an·bn等.這些公式和法則非常對稱與和諧，同樣給人以美觀感受.

二、美 好

“美觀”的數學對象，必須進到“美好”的層次，才真正跳出淺層次的欣賞角度.圓，從結構上看是極其美觀的，從性質上看它也十分美好.世間萬物都在變化之中，但只說事物在“變”，不說明什么問題，科學的任務是要找出“變化中不變的規律”.“圓”中的許多定理和結論，例如，圓周角定理就是一種典型的運動不變性.這是一個多么美妙的結論.又如，韋達定理，一元二次方程有無窮多個，各個方程對應的根（若存在）也有很多，韋達定理則是架設在已知和未知之間溝通天塹之橋.難怪張奠宙先生這樣點評：“求解數學問題，好比猜謎.一個好的謎語，謎面是已知的信息，謎底則是我們尋求的與謎面相適應的未知結果.大自然給我們展示了謎面，而把謎底留給人們去探索.人類的智慧就是在探索和解釋大自然謎底的過程中展現出來的.韋達定理顯示了人類智慧的‘大美，它沒有可供視覺欣賞的美感，卻有震動心靈令人叫好的美覺”.

不美觀的數學對象其實很多.例如，一元二次方程的求根公式，不對稱、不和諧、不美觀.但是，當我們了解它、運用它時，就會感到它的價值.和韋達定理一樣，它的“內秀”在于揭示了根的萬能求法，而有趣的是，數學家由此嘗試一元高次方程的求根公式，除了一元三次方程外，其他的方程居然不能通過各項系數經過有限次的四則運算和乘方、開方運算得到.所以說，數學中有的結論你會覺得它形式上很難看，但本質卻是美好的.

在課堂教學中，外觀上美觀的數學結果，我們有時還會說一說，但是有些不美觀，但實際上非常美好的東西往往避而不談.

三、美 妙

美妙的第一個層面是巧妙.

不論是幾何或是代數，一個個數學結論如鬼斧神工，渾然天成.例如，三角形的3條高都交于一點、九點圓等，這些都是很美妙、令人驚奇的結論.如前面提到的一元二次方程的求根公式，恰好用到了中學階段的六個基本運算：加、減、乘、除、乘方和開方，“意料之外”卻又“情理之中”.

我們都會有那樣的感受：一條輔助線使無從著手的幾何題豁然開朗，一個技巧使百思不得其解的不等式證明得以通過.這時的快樂與興奮真是難以形容，也許只有用一個“妙”字加以概括.

美妙的第二個層面是精妙.

愛因斯坦說過“為什么數學比其他一切學科受到特殊的尊重？理由之一是數學命題的絕對可靠性和無可爭辯性.至于其他各個學科的命題則在某種程度上都是可爭辯的，經常處于會被新發現的事實推翻的危險之中”.精妙在于數學的理性精神，既要講推理，更要講道理.例如，三角形的內角和是180?，拼一拼、量一量算不算數，到底要不要證明？對頂角相等這種一望而知的命題要不要證明等.我國古代數學家認為這些近乎公理，所以避而不談，只管應用.而古希臘數學家認為需要證明，而且使用“等量減等量其差相等”的公理加以證明.兩相對照，才知道古希臘理性精神的偉大.徐光啟看到利瑪竇傳入的《幾何原本》后，發現其嚴密的邏輯體系、敘述方式和中國傳統的《九章算術》完全不同，被這種數學理性精神所震撼，認為：“竊百年之后，必人人習之”“以當百家之用”.

從“顯然正確因而，不必證明”，到“崇尚理性需要證明”，是一次思想上的飛躍，也是數學區別于其他學科的一個本質特點.

美妙的第三個層面是奇妙.

數學美的“高端”欣賞在于：在看不見數學的地方運用了數學以及數學與人文意境的溝通.

二次大戰后的美國出現的三項偉大成就：維納（NorbertWiener）發表的《控制論》、香農（ClaudeShannon）發表的《信息論》和馮·諾依曼（JohnvonNeumann）的計算機方案.其實，令人折服的不僅是他們三個人在1948年不約而同地做出了創造性的貢獻，而是這三項成就，不是通常我們所解決的那些數學問題.普通人無法想象：打電報傳送的信息，可以是數學研究的對象;用大腦控制手去拾地上的鉛筆，可以構成“數學控制論”;研究數字電子計算機會改變時代的發展.因此，在看起來“沒有數學問題”的地方發現數學問題，那就是“大”的數學創造.

“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”將“無限”刻畫得栩栩如生：“無邊落木”指“所有的落木”，是實無限的集合;“不盡長江”則是潛無限，它沒完沒了，不斷地“滾滾”而來.正好契合了線段上無限個點和直線上無限個點的區別.

研究數學的意境，就像張奠宙先生做數學如解謎一般，丘成桐教授看數學如讀史書一般.達到這一步，學生才算真正感受到數學美的真諦，被數學所吸引，喜歡數學，熱愛數學.