多面體外接球的教學欣賞

吳景珠

【摘要】從一道關于正方體外接球的表面積計算題的解法談起，用拓展思維方法欣賞多面體外接球的表面積計算，讓學生和教師在學習、教學、解題中體驗多面體外接球的趣味.

【關鍵詞】多面體;外接球;表面積;教學欣賞

一、預備知識

（一）球與多面體內切外接的定義

定義1 若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球.

定義2 若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球.

（二）球體表面積和體積的計算公式

表面積公式：S球=4πR2，體積公式：V球=43πR3，其中R為球的半徑.

二、問題呈現與變形

高中數學公開課中知識的形成過程（思維發展過程），先（背景）知識后題目練習，公開課大致分為兩個環節：一是學生課前預習，（主要包括知識梳理，即學生課前預習填完，上課不做講解）、自我診斷（4-5道簡單的選填題復習知識點）、常用結論（可空白，學生自己總結填上）;二是課堂探究.學生課前預習、高中數學公開課都是學生提前一天做完預習案后進行講解的，所以對自我診斷部分（課前）直接由學生將答案板書到黑板上即可，此部分比較簡單，目的在于復習本課時知識點、常見結論、公式等，通過學生提出問題（不會的題目），重點講解有疑問的題目，引出常用結論（或知識點），其好處在于省時省力，直接介入主題，為后面做鋪墊.

問題 若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為27π.

分析 一個正方體的頂點都在同一個球面上，也就是說這個球面就是此正方體的外接球，外接球的中心就是正方體的中心，于是可以求得外接球的半徑.

解 外接球的半徑R2=3L24=3×324=274，故外接球的表面積S球=4πR2=27π.

從本題可以看出，正方體的外界球的球心和正方體的中心是重合的，這是對一個“勻稱”的多面體而言，也就是說，一個“勻稱”多面體的外接球的球心和這個多面體的中心是相同的，那么要求外接球的半徑，實際上就是求這個多面體的中心到頂點的距離，這就是我們說的找球心法.

三、問題變式

在求多面體外接球的表面積，除了用找球心法，還可以用補形法，把多面體或球面補充完整，從而直接得到外接球的幾何意義，求出外接球的半徑.

（一）將正方體變成長方體的外接球的表面積

變式1 （找球心法）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1、2、3，則此球的表面積為14π.

（二）將正方體沿面對角線切去一個角所得三棱錐的外接球的表面積

變式2 （補形法）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為3，則其外接球的表面積是9π.

（三）將正方體沿體對角線切割所得三棱柱的外接球的表面積

變式3 （補形法）直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，AC=AA1=4，AB⊥BC，則球O的表面積為32π.

（四）將變式3中直三棱柱的底面三角形變成等邊三角形的外接球的表面積

變式4 （找球心法）變式3中的條件變為“AB=AC=BC=AA1=4”，其余條件不變，則球O的表面積為1123π.

（五）將變式3中直三棱柱的底面三角形變成一般三角形的外接球的表面積

變式5 （找球心法）變式3中的條件變為“該棱柱的體積為3，AB=2，AC=1，∠BAC=120°”，其余條件不變，則球O的表面積為8π.

（六）將變式2中三棱錐變為正四面體的外接球的表面積

變式6 （補形法）一個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為3π.

從以上六個變式，我們總結得出以下兩個命題：

命題1 求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截線面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解.

命題2 若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2=a2+b2+c2求解.

此外，對后面的探究問題由一點（或一題）散發出多個變式，不需要每個都合作探究，只需討論某一個點（如變式3，如何找外接球球心）或題，對有多種方法的例題（如變式3）可重點講解，教師只需板書關鍵點或整題或完整步驟用PPT展示，做PPT時對關鍵式子可框起來，既醒目又美觀.如果是遇到兩問或多問的，每問可設計方框，將答案寫在里面，既規范學生書寫又漂亮整齊.對典例注重學生的思維發展過程，可通過變式逐漸引導.例題及變式由簡到繁，由易到難，最好將高考題轉化成多個變式的組合，這是一個倒推的過程，即研究近幾年高考題，將其轉化為幾個簡單小題的組合，做題時倒過來，循序漸進，逐漸變化，由易到難.所以變式講完，組合得到高考題，高考題相當于講完，不用再詳細講解，一點即過，甚至引出即可.通過一堂課打通普通例題與高考題的聯系，實現簡單題（簡單典型題）到高考題的蛻變.

四、結束語

原題變式這種模式，雖然感覺太固化了，不太注重引導學生思維，也不再開課就復習知識點，但是這種由小題診斷引出，更自然，有側重，如講正余弦定理，不像傳統一樣先復習正余弦定理公式，而是由自我診斷小題由學生提疑問，進而講解引出知識點或結論或公式.在結尾小結時可制作一個表格，將其在高考中的地位展現出來，如考綱是什么？考查方向？高考示例？應對策略等.同時，要注意前后呼應，將教學和日常生活中的熱點問題結合在一起，培養學生的家國情懷，注意在教學中滲透育人的思想，提升本堂課的政治站位.

【參考文獻】

[1]方志平.例談數學競賽中球的“切”與“接”問題[J].中學數學教學參考，2018（28）：63-65.