圓周角定理及其推論中一類典型問題的延伸

王海燕

摘要：通過在圓周角定理及其推論中一類簡(jiǎn)單例題的教學(xué)中運(yùn)用一題多變、一法多用和一題多解的延伸式推理教學(xué)方法，有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性和創(chuàng)新意識(shí)，啟發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

關(guān)鍵詞：圓周角定理;典型例題;一題多解;延伸式教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2019）18-067-2

數(shù)學(xué)知識(shí)形成的思維過程，主要體現(xiàn)在問題提出的思維過程和問題解決的思維過程上，教師在教學(xué)中充分突出公式、定理的探索過程，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)思考，直接去感受問題，從而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索、獨(dú)立揭疑的欲望，使學(xué)生能自覺、執(zhí)著地應(yīng)用自己已有的基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，對(duì)信息進(jìn)行分析、歸納、整理，得到解決問題的規(guī)律和方法，獲得知識(shí)，有新的見解，也達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的目的。

例1，如圖1，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑，求證：AB·AC=AD·AE.

此題是在講完圓周角定理及其推論后的一則典型例題，這道例題的結(jié)論為AB·AC=AD·AE。從結(jié)論分析來(lái)看，這是等積式，若要證明，則須有成比例線段，結(jié)合圖形分析來(lái)看，可以找三角形相似得對(duì)應(yīng)邊成比例，問題在于找哪兩個(gè)三角形相似。如果找△ABD，在△ABD中包含了兩條線段AB，AD，則應(yīng)該連結(jié)EC，找到另一個(gè)△AEC，證△ABD與△AEC相似;如果找△ADC，在△ADC中包含了兩條線段AC，AD，則應(yīng)該連結(jié)BE，找到另一個(gè)△ABE，證△ADC與△ABE相似。

證明：連結(jié)BE，因?yàn)锳E是直徑，所以∠ABE=90°.又因?yàn)椤螦DC=90°，所以∠ABE=∠ADC.又因?yàn)椤螮=∠C，所以△ABE∽△ADC，得ABAD=AEAC，故AB·AC=AD·AE.

此例題的證明實(shí)際證得一個(gè)定理.

定理1：三角形任意一邊上的高與其外接圓直徑的積，等于另兩邊的積。

單純證明這道題比較容易，因?yàn)閺慕Y(jié)論出發(fā)進(jìn)行分析時(shí)目標(biāo)比較明確，只要找到對(duì)應(yīng)的三角形即可，若離開這個(gè)結(jié)論，就不知道該從哪個(gè)方面去分析，此定理的延伸與應(yīng)用在中考與數(shù)學(xué)競(jìng)賽時(shí)經(jīng)常選用，但課本上并未直接給出定理，所以學(xué)生在做與本定理相關(guān)的題時(shí)不易聯(lián)想到定理與基本圖形，給解題帶來(lái)困難。

例2，如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是△ABC的高，AB=b，△ABC的外接圓直徑為d，則AD=（ ）。

由已知分析，AB，AC，d與AD的關(guān)系很少見，特別是不知道存在何種關(guān)系的條件下，該如何分析令學(xué)生很頭痛，若不記定理或基本圖形，直徑在圖中如何放置都成問題，則不容易完成填空。若將上述內(nèi)容以定理或延伸的形式展現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生對(duì)其理解透徹，抓住特征，再遇到類似這種題目時(shí)，可以在較短的時(shí)間內(nèi)分析出這道題所應(yīng)該使用的方法。由AB·AC=AD·d得AD=AB·ACd，可直接完成填空。

例3，如圖2，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是BC邊上的高，求證：∠BAO=∠DAC。

學(xué)生按照思維定勢(shì)，習(xí)慣于連結(jié)BO，此時(shí)并不存在△ABO與△ADC的相似或全等，使證明無(wú)法進(jìn)行下去。要找到∠BAO=∠DAC，首先看哪些條件與這兩個(gè)角有關(guān)系，從∠DAC出發(fā)，這個(gè)角在Rt△ADC中是銳角，與∠C互余，那么就看∠BAO是否也在直角三角形中。∠BAO與半徑有關(guān)系，若延長(zhǎng)AO與圓交于點(diǎn)E，可得到直徑，由AE為直徑，可得到直徑所對(duì)的圓周角為直角，連結(jié)BE，則∠ABE=90°，此時(shí)∠BAO在Rt△ABE中，與∠E互余，由同弧所對(duì)的圓周角相等，在圖2中可看到∠C=∠E，證△ADC與△ABE相似或利用三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論。

例4，如圖2，AD是△ABC的高，AE是其外接圓的直徑，△ABC的面積為S，求證：S=AB·AC·BC2AE.

從結(jié)論來(lái)看，△ABC的面積為S=12BC·AD，將這一條件與結(jié)論放到一起進(jìn)行分析，12BC·AD=AB·AC·BC2AE可得AD=AB·ACAE，再變形，得AD·AE=AB·AC.此時(shí)，要證明的條件與上述定理完全一致，如果記得這個(gè)定理，接下來(lái)就不需要進(jìn)一步分析，可直接得到結(jié)論，否則，需要按照以上證明的過程繼續(xù)分析下去。

例5，如圖3，AE是△ABC外接圓的直徑，弦AF⊥BC于D，∠BAC的平分線AG交⊙O于H，求證：AD·AE=AG·AH.

此題圖3中線段較多，若不考慮定理與基本圖形，極難理出頭緒。所證等積線段在圖中并未分布在兩個(gè)三角形中。所以由證明三角形相似而直接得結(jié)論的思路行不通，所以應(yīng)該考慮通過中間比過渡，因所證結(jié)論為AD·AE=AG·AH，

但由定理知AD·AE=AB·AC，要證結(jié)論成立，只要證明AB·AC=AG·AH就可得出結(jié)論。由圖3不難發(fā)現(xiàn)在所涉及的4條線段分布于△AHB與△ACG中，而由已知條件并不難證明這兩個(gè)三角形相似。

思維的廣闊性是指思路寬廣，善于多角度，多層次地進(jìn)行探索.根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展，設(shè)計(jì)一些思維層次相似或遞進(jìn)的不同圖形，通過一題多解、一法多用的變式教學(xué)，使學(xué)生掌握的不僅是一個(gè)問題的解決方法，而是一類問題的解決方法。定理1可與函數(shù)問題相聯(lián)系，從復(fù)雜的問題中分析出一些特殊條件，使問題變得簡(jiǎn)單易解。

例6，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD=3，設(shè)⊙O的半徑為y，AB=x，求：（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系;（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)為多少時(shí)，面積最大？并求出⊙O的最大面積。

分析：在（1）中要找到函數(shù)關(guān)系，就要找到AB，y與其它線段的關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，找三角形相似得到成比例線段，在圖中有兩個(gè)直角三角形，若過點(diǎn)A作⊙O的直徑，既可得到直角三角形，又可與y聯(lián)系起來(lái)，得到2y·AD=AB·AC.

解：（1）因?yàn)锳B+AC=12，AB=x，所以AC=12-x.由定理1得2y·AD=AB·AC，即2y·3=x（12-x），所以y=-16x2+2x（0

（2）將上式變形，即y=-16x2=-16x2=-16（x-6）2+6

則當(dāng)AB=6時(shí)，⊙O的半徑y(tǒng)最大，y最大=6.當(dāng)y=6時(shí)，⊙O的面積最大，⊙O的最大面積為π·62=36π.