函數不等式解題探究

葛立金

【摘要】函數是我們高中生數學知識體系中的重要組成部分，函數思維的學習也在高中數學學習過程中占據極大的比重，其和不等式、分類討論、方程轉化和數形結合等方面知識的聯合考查和綜合應用較為常見，是高考數學考核中的重要考點和突破難點.因此，本文在討論函數思想的基礎上，借助有關典型例題對函數大小比較、不等式求解、不等式證明和不等式恒成立等一系列問題的解答做出了更進一步地討論，旨在為我們高中生學習函數、不等式等有關知識點帶來更多的思考和啟迪.

【關鍵詞】函數;不等式;應用

眾所周知，函數思維即有效地利用運動變化的原理進一步分析和探討具體題目中數量間的關系，并在此基礎上建立一定的函數關系模型從而將實際問題有效轉化的數學解題思維.在此過程中，更注重對我們高中生把握實際問題中數量依存關系思維的培養，重在從題中變量關系的研究中進一步拓寬解題思路，是整個高中數學學習中的重要部分.在函數不等式的求解過程中，我們可以進一步利用初等函數的基本性質、特殊函數性質和構建中間函數等多樣化的方式進一步將不等式的問題進行一定的簡化，為高中數學的學習打下堅實的基礎.

一、比較大小

在比較大小的函數不等式問題求解過程中，更常見的方法為利用商值或差值的具體大小等進行判斷.在此過程中，往往需要我們對較難的不等式進行一定的縮放或者進一步利用函數圖像等方式進行對比.例如，已知a，b，c滿足下列式子：2a=log12a，12b=log2b，12c=log12c，請比較a，b，c三者間的大小.

圖1

由此題可知，我們不可能根據上述三個等式在較短的考核時間內求出a，b，c三個數的具體大小，那么，我們可進一步轉變思維，試想能否通過構造指數函數或對數函數等大致比較三者的大小.由此，我們可畫出y1=2x，y2=12x，y3=log2x，y4=log12x的函數圖像，在此基礎上進一步作圖如圖1所示.由圖1可知a，b，c三個數在坐標軸中的大致位置，我們便可根據此圖快速地做出相應的判斷，極大程度上簡化了較難不等式的大小判斷問題.

二、解不等式

在利用函數求解不等式問題的過程中，我們可充分利用函數圖像或初等函數單調性、奇偶性等一系列所學的函數性質將不等式求解的相關問題進一步轉化為函數在特定區間內的極值或最值分析等問題，從而簡化不等式求解的具體計算步驟，為數學考試節約一定的時間.例如，y=f（x）為其定義域上的偶函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=x-1，試求f（x-1）<0的解集.

圖2

在此題中，由于函數為偶函數，且當x∈[0，+∞）時，f（x）=x-1，于是我們可在此基礎上進一步將函數y=f（x-1）的圖像畫出，如圖2所示.那么，滿足f（x-1）<0的解集即為0

三、證明不等式

目前，不等式證明仍舊是我們高中數學學習中的重要部分，也是數學知識框架中的重點和難點.在證明不等式成立或者恒等式成立等數學問題時，往往會碰到直接運用不等式性質難以求解的問題.此時便要求我們能在認真仔細觀察題目有關條件設置的基礎上，靈活多變地引入相應的變量或函數關系，利用函數思維將題目中的難點進行轉化.例如，已知a2+ab+ac<0，試證明：b2-4ac≥0.

在此題中，我們很容易在看到b2-4ac時想到二次函數或根的判別式，進而想到構造二次函數f（x）=ax2+bx+c，但根據此函數確定相應的a值存在極大的困難.因此，我們應盡快調整做題思維，進一步嘗試構造函數f（x）=cx2+bx+a，保證根的判別式大于0的同時確定f（0）=a，進而求出函數在（0，1）之間存在零點，并進一步通過討論參數c=0的情況，求證式子的成立.

三、結 語

總之，函數不等式是我們高中生數學知識體系中重要且常考的經典題型，且其考核題型往往和不等式、分類討論、方程轉化等較難、較新穎的知識融合，靈活多變的同時伴隨著較大的計算量.因此，我們應在盡可能牢固地學習和系統地掌握函數不等式有關知識和思維的基礎上，將解題技巧和基礎知識進一步融合和內化，為順利解決高難度函數不等式題型打下堅實的基礎.

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