認(rèn)識平面圖形，探討教學(xué)實踐

吳靜

[摘 ?要] “平面圖形的認(rèn)識”是培養(yǎng)學(xué)生幾何思維、幫助學(xué)生建立空間幾何觀念的基礎(chǔ)內(nèi)容，實際教學(xué)時，需要教師慎重設(shè)計教學(xué)方案，其中構(gòu)建框圖、類比生成、豐富活動、滲透思想可以顯著提升教學(xué)效果，能促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 平面圖形;框圖;類比;活動;思想

“平面圖形的認(rèn)識”是七年級上冊的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)基本平面圖形數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的基礎(chǔ). 通過該章節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生掌握常見圖形的性質(zhì)定理、圖形探索的基本方法，從而發(fā)展學(xué)生的空間幾何觀念，下面結(jié)合教材內(nèi)容提出幾點教學(xué)建議.

構(gòu)建知識框圖，定位章節(jié)內(nèi)容

數(shù)學(xué)知識之間存在著緊密的聯(lián)系，教材的章節(jié)內(nèi)容也是按照知識點之間的聯(lián)系點、邏輯關(guān)系進(jìn)行編排的，因此學(xué)習(xí)“平面圖形的認(rèn)識”時，教師首先要對本章節(jié)的知識內(nèi)容進(jìn)行梳理、歸納，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識框圖，使學(xué)生對本章節(jié)內(nèi)容有一個初步、整體的認(rèn)識[1] .

考慮到學(xué)生的知識儲備不足，暫時不具備獨立進(jìn)行知識梳理的能力，因此框圖的構(gòu)建過程需要教師主導(dǎo)，從局部到整體，由點結(jié)網(wǎng)，按照幾何知識的邏輯關(guān)系來完成. 例如繪制圖1所示的章節(jié)知識框圖，首先呈現(xiàn)章節(jié)的主體內(nèi)容——平行線、三角形和多邊形，然后細(xì)化到具體的性質(zhì)定理上. 特別注意要對性質(zhì)定理和判定定理加以區(qū)分，而對于一些核心的定理內(nèi)容可以采用設(shè)空缺的方式，為學(xué)生留足思考推理的空間，讓學(xué)生后續(xù)通過交流討論的方式來完善，以提升學(xué)生知識歸納整理的能力.

抓住知識聯(lián)系，知識類比生成

類比是幾何知識探究的重要方式之一，教學(xué)中引入類比方法，不僅可以合理完成新知的概念引入，還可以通過類比探究促成新知的生成發(fā)展[2] . 類比方法使用的基礎(chǔ)是對知識間聯(lián)系性的把握，因此教師在教學(xué)時需要對章節(jié)知識間的聯(lián)系有一個整體把握.

例如，線段和角度是幾何概念中的基礎(chǔ)元素，考慮到線段的中點和角平分線之間存在著一定的聯(lián)系和相似點，因此教師在教學(xué)“角度”內(nèi)容時就可以采用類比的方法策略. 首先讓學(xué)生回顧學(xué)習(xí)線段中點時的內(nèi)容及步驟，即以定義為基礎(chǔ)，以性質(zhì)探究為核心，以幾何語言轉(zhuǎn)化為關(guān)鍵，從而學(xué)生可以很快類比出角平分線內(nèi)容的學(xué)習(xí)同樣需要掌握定義、性質(zhì)和對應(yīng)的幾何語言. 另外在實際教學(xué)時有必要將兩者的內(nèi)容在板書上對比呈現(xiàn)，一方面使學(xué)生溫習(xí)已學(xué)知識，另一方面為后續(xù)的新知探究提供參照借鑒.

幾何的探究方法具有一定的共性，在新知學(xué)習(xí)階段就可以采用類比的策略. 一般幾何內(nèi)容的教學(xué)采用“提出問題→給出猜想→驗證猜想→得出結(jié)論”的方式，而這種探究方式同樣可以進(jìn)行類比. 例如教學(xué)“線段、射線和直線”內(nèi)容時，首先設(shè)計如下問題：如圖2所示，點C是線段AB上的任意一點，而點M和N分別是AC和BC的中點，試分析線段MN和AB之間的數(shù)量關(guān)系. 學(xué)生通過簡單的測量可以猜測出線段MN為線段AB的一半，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線段中點的性質(zhì)列出關(guān)系式來完成猜想驗證，并將其上升到理論高度. 為提升學(xué)生思維的靈活性，則可以對問題進(jìn)行拓展延伸，改變點C的位置條件，讓學(xué)生思考：若點C位于線段AB的延長線上，上述的結(jié)論是否成立？學(xué)生在進(jìn)一步的探究過程中會自然而然地類比上一問題的證明方式來完成猜想驗證.

雖然初中階段學(xué)生不能深刻理解類比的概念，如果教學(xué)中教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容合理設(shè)計、適時引導(dǎo)，就可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生掌握類比探究方法的同時獲得數(shù)學(xué)思維的提升. 而在類比探究的過程中，教師有必要將類比的內(nèi)容進(jìn)行明示，給學(xué)生留出充分的時間進(jìn)行猜想、推理、驗證.

豐富教學(xué)活動，問題驅(qū)動引導(dǎo)

幾何圖形是與學(xué)生生活聯(lián)系最為緊密的內(nèi)容之一，本章節(jié)的內(nèi)容教學(xué)需要引導(dǎo)學(xué)生由感性認(rèn)識過渡到理性認(rèn)識，促進(jìn)學(xué)生理性思維的發(fā)展[3] . 而在實際教學(xué)中不能采用知識灌輸?shù)慕虒W(xué)方式，而應(yīng)借助具體的實物、特定的情境活動，利用引導(dǎo)性的問題促進(jìn)學(xué)生探索新知.

以章節(jié)的“平行線”內(nèi)容為例，可以設(shè)計如下數(shù)學(xué)活動.

活動1：讓學(xué)生取出一張長方形的紙片，首先任意方向折疊，折出一條折痕，然后嘗試再次折疊，以求獲得相平行的折痕線，并給出相應(yīng)的解釋.

學(xué)生在折疊的過程中可能采用圖3所示的三種方案，其中第一種是連續(xù)對折，第二種是將兩條短邊均折疊到長邊上，使之相重疊，第三種則是折出一條折痕的兩條垂線. 學(xué)生在折疊過程中也許不能完全明白這樣操作的原理，此時需要教師利用問題來引導(dǎo)，讓學(xué)生思考兩線平行的判定定理，然后將每一種定理對應(yīng)到具體的方案中. 顯然第一種方案對應(yīng)“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”，第二種方案對應(yīng)“同位角相等，兩直線平行”，第三種方案對應(yīng)“垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”. 設(shè)計說理的活動，不僅可以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，還可以強(qiáng)化幾何知識、提升解決實際問題的能力.

又如在學(xué)習(xí)“多邊形內(nèi)角”內(nèi)容時，可以設(shè)計如下探究活動.

活動2：讓學(xué)生取出預(yù)先準(zhǔn)備好的三角形紙片（三個內(nèi)角分別為50°、60°和70°），請學(xué)生任意選取一個角按照圖4所示的方法對其進(jìn)行折疊，將所獲得的兩個角命名為∠1和∠2，然后讓學(xué)生使用量角器分別度量這兩個角的度數(shù)，并計算出∠1+∠2，最后讓學(xué)生與同學(xué)交流，提出自己的發(fā)現(xiàn)并思考其中的原因.

為引導(dǎo)學(xué)生思考，可以繼續(xù)設(shè)置問題：如果將同一三角形紙片按照圖5所示的方法進(jìn)行折疊（三個內(nèi)角均進(jìn)行內(nèi)折），可以產(chǎn)生6個角，則它們的和是多少？那如果對一個一百邊形的紙片進(jìn)行類似的內(nèi)折，會產(chǎn)生200個角，那么這200個角之和是多少？請學(xué)生說出自己的猜想.

在活動過程中學(xué)生會發(fā)現(xiàn)∠1+∠2與被折角之間是2倍的大小關(guān)系，此時需要教師引導(dǎo)學(xué)生利用知識經(jīng)驗進(jìn)一步思考，主要有兩個方向：一是利用鄰補(bǔ)角、三角形內(nèi)角來計算，二是采用作圖的方式，連接被折角前后位置頂點，利用外角與不相鄰內(nèi)角和定理計算. 而后續(xù)的拓展活動則可以促成學(xué)生的思維提升，將說理探究活動上升到數(shù)學(xué)理論高度.

滲透數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)思維提升

結(jié)合教材內(nèi)容分析可知，“平面圖形的認(rèn)識”的教學(xué)過程實際上就是說理的過程，而要讓學(xué)生充分掌握其中的幾何知識必然離不開數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo). 數(shù)學(xué)的思想方法是知識的靈魂所在，教學(xué)中不能缺失對思想方法的講解與引導(dǎo)，尤其是在新知生成的過程中可以合理滲透，使學(xué)生逐步感悟數(shù)學(xué)思想.

本章節(jié)內(nèi)容涉及的數(shù)學(xué)思想較多，主要有數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、類比思想、推理歸納思想等. 其中推理歸納是定理生成的重要方式，教師可以結(jié)合具體的內(nèi)容使學(xué)生親身體驗. 以兩線平行判定定理——“同位角相等，兩直線平行”為例，首先設(shè)計具體的活動，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建判定定理和性質(zhì)定理的思維導(dǎo)圖，如圖6，然后通過演繹推理的方式獲得“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的判定定理，同時采用思維逆推的方式獲得對應(yīng)的逆定理，并將其證明.

又如在進(jìn)行“平行線”內(nèi)容教學(xué)時可以滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方法，提升學(xué)生看圖識圖、語言歸納能力. 給出如圖7所示的圖形：線段AB與CD相平行，連接AC和BD，設(shè)兩線交點為點E，再連接BC，延長至點F. 首先讓學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言將題干條件轉(zhuǎn)化，然后引導(dǎo)學(xué)生使用平行線的性質(zhì)定理來推導(dǎo)幾何性質(zhì)，列出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，并使用不同的語言來描述這些性質(zhì).

幾何定理的圖形語言、文字語言和符號語言之間具有很強(qiáng)的相通性，同時定理的推理證明過程也可以采用不同的語言來完成. 在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言來探究學(xué)習(xí)，可以逐步提升學(xué)生的歸納轉(zhuǎn)化能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]錢佳. 再次走進(jìn)三角形的世界——課改“平面圖形的認(rèn)識之三角形”教學(xué)設(shè)計[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（14）：32-33.

[2]杜育林. 創(chuàng)新教學(xué)方式，實現(xiàn)“讓學(xué)引思”——以“平面圖形的認(rèn)識（二）”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（20）：33-35.

[3]袁健. 概念圖在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用——以蘇科版“第7章 ?平面圖形的認(rèn)識（二）”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（6）：36-37，41.