對一道動態幾何問題的突破與探究

韓曉東

[摘 ?要] 動態幾何是幾何研究的重要內容之一，需要學生探索圖形中的變化，分析相應的位置關系和數量關系. 以其為基礎命制的考題也是中考常見的壓軸題，文章以一道中考動態幾何題為例，開展思路突破、立意探索，并適度拓展，與讀者交流.

[關鍵詞] 動點;幾何;面積;模型

真題呈現，思路突破

1. 真題呈現

（2019年蘇州中考）已知矩形ABCD中，AB=5 cm，點P為對角線AC上的一點，且AP=2 ?cm. 如圖1，動點M從點A出發，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運動（不包含點C）. 設動點M的運動時間為t（s），△APM的面積為S（cm2），S與t的函數關系如圖2.

（1）直接寫出動點M的運動速度為______cm/s，BC的長度為______cm.

（2）如圖3，動點M重新從點A出發，在矩形邊上，按原來的速度和方向勻速運動. 同時，另一個動點N從點D出發，在矩形邊上沿著D→C→B的方向勻速運動，設動點N的運動速度為v（cm/s）. 已知兩動點M，N經過時間x（s）在線段BC上相遇（不包含點C），動點M，N相遇后立即停止運動，記此時△APM與△DPN的面積為S1（cm2），S2（cm2）.

①求動點N運動速度v（cm/s）的取值范圍.

②試探究S1·S2是否存在最大值，如果存在，求出S1·S2的最大值并確定運動時間x的值;若不存在，請說明理由.

2. 思路突破

本考題屬于動態幾何問題，題干給出了對應的圖形特性以及點的運動軌跡，第（1）問要求直接寫出動點M的運動速度和矩形邊BC的長，雖然不需要計算過程，但其分析思路具有一定的代表性：首先需要把握動點M的運動軌跡——A→B→C，然后結合圖2的S-t圖像分析. 考慮到動點M在運動過程中△APM的面積S會變化，因此可以采用構建動點面積模型的方式，即繪制如圖4所示的模型圖.

【第一步：分析面積模型】

當點M在AB邊上時，可建立模型S△APM= AM·h1（其中h1為定點P到底邊AM上的高），因為h1為定值，所以此時S是關于AM的一次函數. 此階段，隨著時間的增加，AM的長增大，則△APM的面積呈增加趨勢.

當點M在BC邊上時，可建立面積模型S△APM= AP·h2（h2為動點M到底邊AP上的高），因為AP為定值，所以此時S是關于h2的一次函數. 此階段，隨著時間的增加，h2的長度減小，即△APM的面積呈減小趨勢.

綜合可知，動點M沿著軌跡A→B→C運動時，△APM的面積先增加后減小，且在點M運動到點B處取得最大值.

【第二步：數形綜合分析】

對于第（1）問，根據運動軌跡可知△APM的面積隨點M運動的變化趨勢，再結合圖2的函數圖像變化趨勢可確定時間與點M位置的對應關系，即當t=0時，點M位于起點A處;當t=2.5時，點M位于點B處;當t=7.5時，點M位于終點C處. 結合公式“路程=速度×時間”可知AB=vM·2.5，BC=vM·5. 已知AB=5 cm，所以vM=2 cm/s，BC=10 cm.？搖即答案為2，10.

第（2）問在第（1）問的基礎上增加了動點N的運動過程，并且利用動點構建了面積S1和S2. 其中第①問求動點N運動速度v的取值范圍，而動點N和動點M的運動軌跡屬于數學上的相遇問題，需要明確兩動點運動的總路程，即AB+BC+CD=20 cm. 相遇問題的運動模型為：總路程=兩動點的速度之和×相遇時間，只需要據此構建表達式即可，即（2+v）×x=20，變形可得2+v= . 題干指明兩動點在線段BC上相遇（不包含點C），從而可得到時間x的取值范圍為2.5≤x<7.5. 對于函數y= ，其為反比例函數，已知x的取值范圍，可利用反比例函數的性質求y的范圍，即 < ≤8，于是有

第（2）問的第②小問探求S1·S2是否存在最大值，屬于經典的幾何存在性問題，可整體采用“先假設，后論證”的策略. 具體處理時，應利用數形結合的分析方法，即首先構建動點面積模型，然后利用面積公式轉化為代數問題進行分析. 如圖5，圖中的兩塊陰影三角形就分別代表△APM和△DPN，過點M作AC的垂線，垂足為H，則圖中△APM的面積可表示為S1= MH·AP=-2x+15，由于△DPN為一般三角形，難以直接構建，則可以建立S2=（S1+S2）-S1的關系，S1+S2表示陰影圖形總的面積，求其面積可以采用面積割補的方式，將其轉化為幾個規則圖形的組合. S1+S2=S矩形ABCD-S△PAD-S△DCM-S△ABM，代入面積公式可解得S1+S2=15，所以S2=2x. 所以S1·S2=（-2x+15）·2x=-4x- 2+ （其中2.5≤x<7.5），結合二次函數的性質可知當x= 時，S1·S2可取得最大值，且最大值為 .

考題點評，立意探究

本題屬于中學數學常見的動點幾何問題，涉及動點運動參數分析、線段求值和幾何存在性分析，可以充分考查學生的幾何知識和綜合分析能力. 本考題以動點作為變化起點，構建了相應的圖形形狀變化、面積變化，實現了位置關系和數量關系的轉化，是代數與幾何兩大知識內容的融合. 試題整體遵循數學探究思路，呈現如圖6所示的思路結構.

題干首先給出矩形ABCD的特征，以及動點的運動軌跡和參數，然后提出相應的動點問題和幾何面積問題，需要研究因動點引起的特殊位置和特殊形狀. 后續需要建立相應的幾何模型，然后基于模型轉化為具體的代數問題，通過代數分析實現求解. 在解題探索過程中需要關注以下幾點.

1. 把握動態條件

上述真題將點的運動、圖形變化和函數圖像三者相結合，具有極強的綜合性，動態形成的起點是點的運動，因此在問題分析時應準確把握動態形成的條件——動點的軌跡、運動參數、限制條件. 其中點運動的軌跡直接決定了后續幾何圖形的形狀變化，而運動參數細化了動點的運動，同時也是幾何線段長形成的關鍵.

2. 構建動態中的模型

動態幾何問題突破的關鍵是構建幾何圖形與代數之間的關系，利用數量運算來分析幾何變化，而運動模型是兩者關系構建的橋梁，即解題時需要在動態變化中構建模型，實現動態問題的參數化. 例如上述真題在分析時分別利用運動公式和面積公式構建了相應的模型，然后利用相應的性質實現了解題突破.

3. 采用合理的策略

相對而言，動態問題的解題難度較大，對學生的解題思維要求較高，解題突破時需要學生采用合理的解題策略來降低思維難度. 對于動態幾何問題，一般采用數形結合的分析方法，善用“動”中取“靜”的轉化策略，準確把握其中的“不變量”和“不變關系”，利用其中的“不變”來構建代數式.

深度探究，應用拓展

上述真題的問題核心是第（2）問探究兩個三角形面積之積的最大值，從代數幾何問題來看，需要利用面積公式，將問題轉化為分析代數式，而解題的難度在于對一般三角形的面積轉化. 上述采用的是幾何問題常用的面積割補法，即通過作輔助線的方式將一般圖形分割為幾個規則的特殊圖形，則原圖形的面積就為幾個規則圖形的面積組合，后續只需要代入規則圖形的面積公式求解即可. 該方法可以有效降低思維難度，且在中學數學中有著廣泛的應用，下面結合實例探究其在函數問題中的應用.

試題？搖（2018年資陽中考）如圖7，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸交于A（0，6），B（6，0），C（-2，0）三點，點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.

？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

（1）求拋物線的解析式;

（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？

解析？搖 第（1）問只需結合拋物線上A，B，C三點的坐標，采用待定系數法即可獲得其解析式. 即把A（0，6），B（6，0），C（-2，0）的坐標代入y=ax2+bx+c，可求得拋物線的解析式為y=- x2+2x+6.

第（2）問分析幾何面積的最大值，△PAB為一般三角形，無法利用函數上的點來構建面積模型，所以采用面積割補的方式求解. 過點P作x軸的垂線，垂足為M，交AB于點N，再過點A作PM的垂線，垂足G，如圖8所示. 則S△PAB=S△PAN+S△PBN= PN·AG+ PN·BM= PN·OB，設Pt，- t2+2t+6，利用點的坐標求線段長，代入公式即可求得S△PAB=

- （t-3）2+ ，所以當t=3時，△PAB的面積有最大值，且最大值為 .

上題屬于二次函數問題中的面積割補法應用，通過作輔助線，能將一般的三角形割補為面積易得的特殊三角形，從而構建相應的面積模型，最后利用二次函數的性質獲得相應三角形的面積最大值. 與動態幾何問題相比，其特殊之處在于需要充分利用拋物線上已知點的坐標，這樣利于后續線段長的代入.

寫在最后

動態幾何問題作為中考較為常見的問題類型，圖形結構較為復雜，設問也更為靈活，對學生運用知識突破考題提出了較高的思維要求，這是素質教育的必然趨勢，也應成為課堂教學的目標，包括提升學生的動態思維，提升學生理解運動過程的能力，提升學生利用知識構建數學模型的能力，以促進學生的學科素養發展.