淺談復合函數中定義域的求法問題

趙青波

摘要：復合函數的定義域是高等數學中的基礎知識之一，同樣對學生也有著挑戰性，由于該部分理論知識的應用性強、復雜性較高，對部分學生來說有著較高的挑戰性。但是，有關復合函數定義域出題，雖然具有靈活性，但是本質上仍舊是萬變不離其宗，筆者結合日常教學中經常遇到的幾種類型，對其進行分析，并在此基礎上對復合函數定義域解題的關鍵進行闡述與分析，從而對學生掌握該類題型提供幫助。

關鍵詞：復合函數;定義域;求法;解題關鍵

復合函數是指由兩個及兩個以上函數組成的函數，從其定義來看就能發現其中的復雜性，但是復合函數定義域的求解不僅在單一類型題目上有著重要性，也往往作為一個基礎條件應用到其他類型題目上，因此學生掌握復合函數定義域的相關知識有著極重要性和必要性。與此同時，學生對于復合函數的學習與掌握，能夠充分調動與培養其數學思維和邏輯思維，從而對學生的學習起到有效的幫助。從當前學生復合函數掌握的具體情況來看，多數學生對該類知識點的認識度和掌握度仍有不足，甚至不能充分掌握該類題型的做題規律，影響到自身整體的數學成績。筆者圍繞日常教學經驗，對復合函數定義域的求法進行歸納與總結，并結合相關例題進行分析，為學生對該方面知識的掌握提供參考。

一、學生對復合函數學習的現狀

復合函數這一知識點在大一高數的課本上，該知識點有著抽象性強、邏輯強等特點，對于部分學生的學習來說有著極端的挑戰性。由于學生剛剛接觸到抽象函數本身就存在著不適應性，再加上復合函數本身的晦澀難懂，導致一部分學生在學不會的情況下自行放棄這一章節的學習內容。但是，復合函數及其有關的知識點，在整個數學中有著極端的重要性，他不僅作為一個單獨的知識點存在，同時還會充當其他函數題的條件，成為解題的基礎與關鍵。

也由于復合函數本身的晦澀性，也導致部分學生對其產生了恐懼心理，筆者調查中發現，有80%以上的學生能夠掌握住簡單的復合函數定義域計算，40%左右的學生能夠掌握住中等程度的復合函數定義域計算，僅有15%左右的學生能夠掌握住非常復雜的復合函數定義域計算。但是，就整個學習數學歷程來看，這種情況也會在反復的模擬考試中得到改善，在數學復習結束以后，對于復合函數定義域的題型多數學生已經能夠充分的掌握和應用，并且會隨著后續復習的強化，對該知識點不斷鞏固。

二、復合函數中定義域的幾種求法

（一）已知f（x）定義域求f[g（x）]定義域

對于這一類型的復合函數定義域題相對屬于基礎與簡單的題，只需要進行值域之間的轉化，便可以推導出復合函數的定義域。在這類題的解題思路上，要明確一個觀念，即g（x）的定義域與f（x）中x的定義域一樣，再次基礎上進行推算即可。出題類型上一般是：已知f（x）定義域為[n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，這幾種類型，讓求f[g（x）]定義域，我們只需將g（x）=t，則t與x的定義域一樣，如此便可以推出f[g（x）]的定義域。如，例題1和例題2。

例題1：已知函數f（x）定義域為[2，5），求函數f（x+1）的定義域。

解：由題意可知，2≤x<5，則2≤x+1<5，1≤x<4，由此推出f（x+1）定義域為[2，4）。

例題2：已知函數f（x）定義域為（2，6]，求函數f（x2+1）的定義域。

解：由題意可知，2

（二）已知f[g（x））]定義域求f（x）定義域

該類型的復合函數定義域計算題，也是屬于相對較為簡單的題型，在該類題中關鍵也在于定義域值域之間的轉換。一般來說，該類題的出題思路為，已知f[g（x）]定義域為[n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，求f（x）定義域。在解題的思路上，我們要先把g（x）=t，得出的定義域就是f（x）定義域。如例題3。

例題3：已知函數f（4x-6）的定義域為[5，8]，求函數f（x）定義域。

解：由題意可知，5≤4x-6≤8，則11≤4x≤14，則11/4≤x≤7/2，則f（x）定義域為[11/4，7/2]。

（三）已知f[g（x）]定義域求f[h（x）]定義域

這類型的復合函數定義域題相對來說比較復雜，可以明顯看出該類型題綜合了上述一二兩種類型，因此在計算上我們可以先由f[g（x）]求出f（x）定義域，然后在去計算f[h（x）]的定義域，即以f（x）為橋梁，進行轉化與計算。在出題上，一般會是按照如下的思路：

已知函數f[g（x）]的定義域為[n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，求f[h（x）]的定義域。如例題4。

例題4：已知函數f（2x+2）定義域為（4，8），求f（2x-2）的定義域。

解：由題意知，4<2x+2<8，則1

（四）已知f（x）定義域求四則運算型函數定義域

該類型的題是復合函數定義域中最復雜的題，也是最令學生與教師頭疼的題，需求求出各個函數的定義域，然后再求交集，一般來說，多數學生能夠求出各個函數的定義域，但是在交并集的計算上，往往容易出問題，而且，該類型的題往往不是真實數字，而是一些字母，這樣無疑增加了題目本身的抽象性。如例題5。

例題5：已知函數f（x）定義域為（n，m），且n+m>0，求g（x）=f（x+a）+f（x-a） （a>0）的定義域。

解：由題意可知，n

另由題意知，a>0，∴n-a

若使g（x）定義域為非空集合，則必須使n+a

三、復合函數定義域解題的關鍵

（一）把握出題的類型

對于復合函數定義域的題在解答的時候，學生一定要充分把握住出題的類型，能夠根據題干明白在考察什么，在此基礎上思考解題的方法，并加以計算。如在考察四則運算型函數定義域的時候，不能按照其他的解題思路進行，這樣才能夠保證最終的定義域。同時，在算題的過程中，一定要充分考慮到各個方面的條件，一定要把非空集合考慮到位，這也是數學解題思路的一個關鍵。

（二）分清內函數值域與外函數定義域

在復合函數定義域計算的過程中，也要充分把握住內函數值域與外函數定義域，要謹記兩句話，即內函數值域一定要包含于外函數定義域中，以及外函數定義域是內函數的值域。同時，學生也一定要能夠辨別出什么是內函數，什么是外函數，如函數f（2x-3）中，令函數y=f（t），則，外函數為y=f（t），內函數為2x-3。充分辨別和把握住內外函數，才能夠保證做題過程中的正確率。

（三）掌握做題技巧

對于復合函數定義域計算類型的題，也有著自身的規律和答題技巧，掌握住技巧與規律學生不僅能夠在做題的效率上得到提高，也能夠在做題的正確率上得到提高。對于復合函數定義域計算的規律與類型，可以參考本論文中第二部分，根據各種題型進行歸納總結，并且將每個題型的解題思路進行充分的掌握。

四、結束語

復合函數定義域的計算，對于學生來說既具有掌握的必要性，也具有掌握的重要性，這是高等數學中的做題基礎。函數類型的題一般都具有晦澀難懂和抽象的特點，學生只有在充分把握住這些做題規律的基礎上，將總體的類型進行細分，在細分的基礎上按照難易程度有順序的進行理解，并在日常的訓練中加以訓練和注意，便能夠有效的掌握住總體的類型。

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