由數形結合解讀幾何課堂教學
——從矩形的判斷課例說起

浙江省天臺縣外國語學校 林炳江

上學期期中考試剛剛結束，學校就全面鋪開了每一學期的教研活動.這次教研活動以“示范課”為引領活動核心，以學科組集體備課和課后反思為活動抓手，讓學校工作以教學為首位，以學生為基本，沉浸到了教研的氛圍之中.為了在課堂上做好示范引領作用，在學科組集體備課的基礎上，筆者勇挑“講課”的重擔；在課后又進行了學科組的交流.筆者作為主講教師感悟至深，課余之時將這些靈感流于筆端.

一、學科組集體備課讓筆者對課堂內容有了更深刻的認知

本次教研活動所選內容“矩形的判斷”是第8冊下的內容，但因為中招的需要，學校要求將課程前移，在本學期提前結束第8冊下的內容.為了在縮短教學進程中使課堂高效，學科組集體備課是課堂教學的教研活動的前奏.

在學科組集體備課時，筆者首先提出了自己對教學目標、教學重點、教學難點的理解，由學科組成員一起研討，在其他學科組成員的交流和改進中進一步整合，讓這部分內容能夠在課堂上駕馭得“游刃有余”，讓學科教師能夠在學校教研活動中“脫穎而出”.在許多磨合中讓筆者感受至深的有這樣兩點：第一，筆者認為課堂教學的目標就是使學生能應用矩形定義、判定等知識，而有學科組成員提出不但明確“判定”知識，在課堂上學生還應該能利用知識去完整地完成簡單的證明題和計算題，這是培養學生分析能力的關鍵所在；第二，筆者認為要通過矩形判定來灌輸“數形結合”的數學思想，而學科組成員又提到將矛盾能夠互相轉化的辯證思想貫穿在教學之中.

在集體備課時，筆者認為教學重點和難點都是矩形的判定，這是教學核心內容，但有些學科組成員則補充了“矩形的判定及性質的綜合應用”.還有就是對例題和課堂練習等的設計，這塊內容可以在課堂教學中具體說明，在這里就不一一細說了.總之，通過備考交流，自己的思維活躍了起來，有了上好課的信心.

二、學科組參與指導讓筆者對課堂教學有了全新的詮釋

在集體備課時，與學科組成員達成共識，本節課采用“觀察、啟發、總結、提高”的方法對內容進行展開與拓展.

1.導入新課

在電子白板上展示三個問題（讓學生思考舊知）：

（1）敘述平行四邊形和矩形的定義.

（2）你能說出矩形有哪些性質嗎？

（3）比較矩形與平行四邊形，談談二者有什么共同之處，有什么不同之處.

教師巡查，觀察學生思考的情況，然后通過三個學生對問題的回答做出點評，并導入新課——矩形的判定.

設計目的：讓學生回顧已有的知識，以平行四邊形和矩形的定義作為起點，在回答問題的過程中組織教學，從而達到“溫故而知新”的目的.

2.講授新知

拿出一個四邊形模具（有兩種形式的模型，如圖1）進行演示，然后學生通過小組合作進行觀察、探究.

圖1

學科組成員幫助分發平行四邊形模具給各小組，并參與小組的討論.

讓小組推薦成員談談在探究過程中發現的規律（中等學生）：將平行四邊形的一個銳角增大，變成90°（用直角三角板靠上去），再測量其他幾個角得到都是90°.若是任意四邊形，將四邊形的一個銳角增大，變成90°（用直角三角板靠上去），再測量其他幾個角，不一定是90°.

設計目的：學生在總結規律時用模型來說明，體現了動手能力，在其他老師的指導下，讓課堂氛圍變得自然、和諧，同時學生受到啟迪后，描述發現的規律也自然、得體.

小結新知：在電子白板上展示：

有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

拓展說明：有一個角是直角的平行四邊是矩形，因此，判定一個四邊形是不是矩形，必須確定它是不是平行四邊形，然后觀察它有沒有角是直角.用“定義”作為判定是最重要和最基本的數學思維方法.在任何科學的定義面前，定義必定體現性質和判定的雙重作用.讓學生明確，準確掌握數學“定義”是非常重要的.

在解釋定義之后，學生繼續推理，有學生得出了“有三個角是直角的四邊形是矩形”的結論.讓學生在紙上寫出推理過程，然后進行投影并講解.

提出第2個判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.

活動過程同第1個判定定理類似，先分析判定方法，再讓學生自主完成證明過程，并抽出幾個學生進行展示、對比.

設計目的：讓學生動手后進行反思，讓在探究中發現的規律潛移默化為數學思維能力.幾何推理邏輯性強，需要“步步為營”，不能缺少中間的任何環節.在課堂上學科組教師的參與讓這種邏輯性變成學生的推理準則成為可能，因為教師的督導讓學生集中了精力.

學生歸納：上面講到的矩形判定方法有三種：

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；

（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.

3.例題示范

用電子白板展示例題，讓學生思考，然后師生共同完成.

例題：如圖2，已知?XYZW的對角線XZ、YW相交于點O，△XYO是邊長為3cm的等邊三角形，計算該平行四邊形的面積.

圖2

釋疑過程：第一步，讓學生將學習的新知識進行運用：判斷?XYZW為矩形；

第二步，計算特殊直角三角形XYZ的邊YZ的長（有一個角為60°的直角三角形，兩個直角邊存在怎樣的關系，這是數形結合思想）；

第三步，計算矩形的面積（基本公式）.

學生自主寫出步驟，然后將結果通過投影展示、教師點評并進一步深化.

設計目的：本題是根據“對角線相等的平行四邊形是矩形”確定?XYZW是矩形的，這要求學生具有平行四邊形是對稱圖形的理解能力，讓學生在推理過程中能將數代入進行運算，這是對他們的“數形結合”數學學科核心素養的提升.

補充例題：判斷下列命題的正確性.

（1）若一個四邊形的兩條對角線相等，則這個四邊形是矩形.（ ）

（2）若一個四邊形兩條對角線相等且互相平分，則這個四邊形是矩形.（ ）

（3）若一個四邊形有一個角是直角，則這個四邊形是矩形.（ ）

（4）在一個矩形內部可以找到一個與四個頂點距離相等的點.（ ）

具體分析略.

4.課堂小結

再次強調并提升知識.

要求學生在矩形的判定方法中厘清判定的兩個條件：①是平行四邊形，②有一個角是直角或對角線相等（是數形結合）；或是：①是四邊形，②有三個直角（是數形結合）.

設計目的：用補充例題來鞏固學生對新知的理解，尤其是通過一些命題的判斷，讓學生有“幡然醒悟”的辨別能力，并通過學生的深入認知進行課堂小結，這樣就能起到舉一反三、事半功倍的效果.同時學科組其他教師參與檢查督導，讓學生量力而行，讓所有的學生都有收獲.

三、學科組點評形成了教后反思與提升

學科組成員參與課堂活動之后，投給筆者以贊賞的目光，說明筆者的課堂活動是成功的.同時提出了很多寶貴的建議.比如，能否縮短舊知復習的提問時間；能否將“對角線相等的平行四邊形是矩形”的證明過程讓學生自己去展開而不是教師強化；能否在例題之后再做幾道變式練習，讓學生通過小組對抗賽的形式來激發課堂熱情……

是的，畢竟作為一節教研類型的課，有許多不足之處是必然的，學科組教師給了莫大的肯定和點贊，讓我在教學生涯中有了前進的動力.我知道，唯有在教研活動中去大浪淘沙，才能獲得拾起屬于自己的那塊金子的機遇.