淺談用數(shù)學思想方法來解決經(jīng)濟生活中利潤類問題

崔園

摘 要：本文探討了如何用數(shù)學思想方法來解決經(jīng)濟生活中碰到的求利潤，最大利潤這樣的一類應用題。用方程思想可解決售價進價是不變的一類問題，而當售價進價變化時，我們則往往用函數(shù)思想來解決，且這兩類問題中的銷售量是常量或只是一般變量；而當問題進一步復雜化時，生產(chǎn)多種產(chǎn)品，出現(xiàn)多個變量時，我們可以用線性規(guī)劃的知識來求解；最后當問題中的利潤或銷售量不是一般變量而是隨機變量時，我們則往往會用數(shù)學期望等相關(guān)知識來解決。

關(guān)鍵詞：方程思想 函數(shù)思想 線性規(guī)劃 數(shù)學期望 （最大）利潤

利潤類應用題是人們在生產(chǎn)、生活、管理等各項經(jīng)濟活動中經(jīng)常遇到的問題，是一個社會人尤其是商業(yè)人需要去關(guān)注的問題。作為職業(yè)學校的數(shù)學教師，有責任將數(shù)學與專業(yè)有機地結(jié)合起來，讓數(shù)學為專業(yè)服務，所以有必要將利潤類應用題滲透到數(shù)學課堂中，甚至有必要將它作為一個模塊編入校本教材中。下面本人淺談一下如何用數(shù)學思想方法來解決經(jīng)濟生活中的利潤類問題。

一、用方程思想解決利潤類問題

用方程思想解決的是最簡單的一類利潤、折扣問題，這是小學初中數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)的應用題。解決這一類問題關(guān)鍵在于看清題意，列出方程，當然也可以是不等式，但其本質(zhì)不變都是簡單的套用公式類的題目。核心公式：利潤=收入-成本。下面我們來看幾個例子：

（一）一種商品，甲店進貨價比乙店便宜12%，兩店同樣按20%的利潤定價，這樣1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定價是多少元？

（二）某公司經(jīng)營甲、乙兩種商品，每件甲種商品進價12萬元，售價14.5萬元，每件乙種商品進價8萬元，售價10萬元，且進價售價不變，現(xiàn)準備購進甲、乙兩種商品共20件，所用資金不低于190萬元，不高于200萬元。求（1）該公司有哪幾種進貨方案？（2）該公司采用哪種進貨方案可獲得最大利潤？最大利潤多少？

解決這一類應用題，其核心思想都是方程，本質(zhì)是對成本、收入、利潤這些基本概念的理解，并列出相關(guān)式子。

二、用函數(shù)思想解決利潤類問題

所有商人追求的都是利潤最大化，而最大利潤的獲得往往只有兩種途徑：一是薄利多銷，二是提高售價。薄利未必多銷，因為需求有限；而提高售價又往往會使銷量減少。所以如何定好價，是經(jīng)營決策中一個非常重要的問題。所以問題較第一類復雜了些，第一類問題中的售價進價往往是不變的，那么當售價進價變化時我們又該如何來解決呢？下面我們來具體看幾例。

（一）某商店購進一批單價為40元的商品，如果以60元的價格銷售則每個月能賣出300件。根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每提高1元，則銷售量減少10件，每降低1元，則銷售量提高20件，問如何定價才能獲得最大利潤？

（二）一家旅社有客房300間，每間房租20元，每天都會客滿，旅社欲提高檔次，并提高租金，如果每增加2元，房客出租數(shù)會減少10間，不考慮其他因素時，旅社將房間租金提高到多少時，每天房客的租金收入最高？

我們可以把客房看成是商品，則租金就是售價，租出的客房間數(shù)就是銷量，所以其本質(zhì)是和第一題一樣的題目，區(qū)別在于第二題售價只提高不減少，而第一題售價即可提高又可降低，且銷量隨售價的提高和降低是不同的關(guān)系式，所以我在這里舉了兩例。

總之上述兩例的售價都不是固定的，銷量隨售價的變化而變化，所以可得出利潤關(guān)于售價的變化量之間的函數(shù)關(guān)系式，這個關(guān)系式往往是二次的，所以用二次函數(shù)求最值的知識就可解決。

但是我們也可以發(fā)現(xiàn)這兩例中成本是不變的，且銷量關(guān)于售價的函數(shù)是一次的，那么如果成本也跟著變化或者銷量關(guān)于售價的函數(shù)不是一次的，那么這樣的例子我們又該如何解決呢？下面我們再來看兩例：

（三）霓虹化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2010年度進行一系列的促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量 萬件與年促銷費用 萬元之間滿足 與 成反比例。如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元。每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投資32萬元。當將每件化妝品的售價定為“年平均成本的150%”與“年平均每件所點促銷費的一半”之和，則當年的產(chǎn)銷量相等。求當該企業(yè)2010年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤 最大？

（四）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量 （噸）與每噸產(chǎn)品的價格 （元/噸）之間的關(guān)系式為： ，且生產(chǎn) 噸的成本為 （元），問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸時能獲取最大利潤，最大利潤多少？

第3題的成本是變化的，既涉及促銷費用又涉及固定投資和追加投資，而第4題是售價關(guān)于銷量是二次的且成本也變化的題目，所以在解這2題時肯定比前2題要復雜些。對于第3題其列出來的函數(shù)經(jīng)過整理后為 ，對于這一問題求最值，用均值不等式最為簡單。而對于第4題的求解，因為其函數(shù)列出來經(jīng)過整理后為 ，是三次的函數(shù)求最值，那么我們當然可以使用導數(shù)的知識來解決此問題。

上述例題雖然使用了不同的方法來求最大利潤，但其本質(zhì)是一致的，都是列出利潤關(guān)于銷量或售價的函數(shù)后，求函數(shù)最值的問題，所以用函數(shù)思想來解決求利潤最大的問題是極有效的一種思想。

三、用線性規(guī)劃方法解決利潤類問題

在現(xiàn)實生產(chǎn)和生活中，求利潤最大化也就是求解最優(yōu)化問題，我們可將此類問題歸結(jié)到運籌學的范圍來解決。而運籌學中比較簡單的一類問題就是線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃解決的問題就是在有限的人力、物力、財力等資源下，從可行的備選方案中選取最佳方案以達到人們期望的最大效用。下面通過實例來體會一下如何用線性規(guī)劃解決利潤最大化問題。

（一）某工廠有A，B兩種配件生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可以從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，每天按8h計算，而生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，請問如何進行生產(chǎn)安排能使得利潤最大？

（二）某廠商用A，B兩種原料生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的利潤現(xiàn)有原料數(shù)量及每種產(chǎn)品消耗原料的定額如下表

問怎樣組織生產(chǎn)才能使總利潤最大？

第一題的解決很簡單，可采用圖像法來求解，在高中階段就能解決，而第二題的求解通常直接采用MATLAB中的優(yōu)化工具箱來求解。

四、用數(shù)學期望解決利潤類問題

數(shù)學課堂中的實際應用問題都是簡化了的有很多假設的數(shù)學模型，實際問題則更加復雜化，多元化。經(jīng)濟生活中我們追求利潤、利益的最大化，供不應求和供過于求都不利于利潤的最大化，但需求量（銷售量）、供應量都是不是簡單直觀的量，批量生產(chǎn)有助于降低成本但并非生產(chǎn)越多越好；而需求量更是不好預測的量，它可能隨定價的高低、經(jīng)濟形勢的好壞、對手公司是否推出類似產(chǎn)品，市場上是否有其他替代品而有很明顯的變化，所以需求量（銷售量）往往是一個隨機變量。所以理性的決策者會想方設法建立更貼近現(xiàn)實的數(shù)學模型。在解決利潤效益類問題時，理性的商家往往可以根據(jù)過去的數(shù)據(jù)（概率），利用數(shù)學期望等有關(guān)知識來制定最佳生產(chǎn)和銷售策略。比如：

（一）某人用10萬元進行為期一年的投資，方案有兩種，一是購買股票，二是存銀行獲取利息。買股票的收益決定于經(jīng)濟形勢，若形勢好可收益4萬元，若形勢中可收益1萬，若形勢差則虧本2萬。如果存銀行，假設年利率為10%，可得利息1萬元，又設經(jīng)濟形勢好、中、差的概率為0.3、0.5、0.2，試問選擇哪種方案能使投資回報率最大？

（二）某商場某產(chǎn)品每周的銷售量 是一個隨機變量，分布列為 ，而商場每周的進貨量為區(qū)間 中的某一整數(shù)，每銷售一件可獲利5000，若供大于求，則每積壓一件產(chǎn)品虧損1000，若供不應求，則從其他商店調(diào)劑，僅獲利2000元，問此商場初進貨（包括存貨）應為多少才能使周平均利潤最大？

（三）國際市場每年對我國某種出口產(chǎn)品的需求量X在 上服從均勻分布，每出口1噸可獲利3萬元，積壓1噸則虧損2萬元，問該公司應準備多少噸該種貨物，才能使所獲利潤最大？

對于上述3例，題目則比前兩類例題要復雜得多，有更多不確定的因素而使可能出現(xiàn)的結(jié)果也是不確定的，在解決這類利潤效益類問題時，理性的商家往往可以根據(jù)過去的數(shù)據(jù)（概率），利用數(shù)學期望等有關(guān)知識來制定最佳生產(chǎn)和銷售策略。第1題是相對較簡單的題目，因為其收益（利潤）是一隨機變量，求其數(shù)學期望值則只需進行簡單的加減運算即可。而第2第3題，因為其需求量（銷售量）是一個隨機變量，而利潤是關(guān)于需求量的函數(shù)，所以問題就復雜得多了，這兩題的區(qū)別在于第2題中銷售量是離散型的隨機變量，而第3題中的銷售量是連續(xù)型的隨機變量，所以第3題還用到了微積分的相關(guān)知識。

綜上所述，解決利潤類的應用題，我們可用方程思想、函數(shù)思想、線性規(guī)劃方法或用數(shù)學期望來解決。用方程思想可解決售價進價是固定的一類問題，當售價進價變化時，我們則往往用函數(shù)思想來解決，且這兩類問題中的銷售量是往往是常量或只是一般變量。而當問題進一步復雜化時，存在多個變量時，可用線性規(guī)劃的方法予以解決，而當問題中的利潤或銷售量（需求量）不是一般變量而是隨機變量時，我們則往往會用數(shù)學期望及微積分的相關(guān)知識來解決。本人能力有限，只是粗淺地談一下我對這類問題的一些認識，不足之處萬望各位專家見諒！

參考文獻

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