立足教材 凸顯本質
——《對數函數的圖像與性質》的教學新設計

廣東省佛山市第四中學 彭曉燕

華南師范大學數學科學學院 何小亞

為了提高廣東省佛山市高中數學教學水平，佛山市教育局教研室彭海燕副主任邀請我們為全區的高中數學教師做一個基于高中數學新課標和新教材的教學設計示范案例，并于2019年10月17日上午在佛山市第四中學面向全區的高中數學學科組長和骨干教師上了公開示范課，引發了大家的熱議.以下是我們根據追求數學素養的教學設計標準［1］設計的教案和反思，希望廣大讀者批評指正.

一、教案設計

【教材】人教A版（2007年版）普通高中數學必修一2.2.2（課時安排）第1課時.

【教材分析】 將復雜的函數問題化歸為簡單的基本初等函數問題，是研究函數的核心思路.對數函數就是一種重要的基本初等函數.本節內容是在學習對數的概念和運算性質后，進一步學習對數函數的定義、圖像、性質及初步應用.對數函數的圖像與性質的學習過程與指數函數部分類似，注重學生參與探究的過程，因此可以類比進行教學.

【學情分析】

（1）認知基礎：學生已經學習了指數函數的概念和圖像、對數的概念，積累了探究指數函數性質的經驗.這些是學習對數函數的概念及其性質的基礎.

（2）認知障礙：函數概念的本質；指數函數與對數函數互為反函數的理解；容易忽略底數a對圖像的影響.

【教學目標】

1.知識與技能

（1）理解對數函數的定義，深刻認識函數的本質（具體內容見問題2之后）；熟悉指數函數、對數函數增長快慢的差異；知道指數函數與對數函數互為反函數.

（2）掌握對數函數的圖像和性質，會用其比較對數的大小.

2.過程與方法

（1）通過問題2和3的討論過程，提高學生的函數素養；

（2）通過問題4的提出、分析、解決過程，進一步強化應用函數模型解決特殊問題的一般化思想和問題解決中的化歸思想.

3.情感態度與價值觀

（1）讓學生喜歡對數、對數函數；

（2）感受對數運算強大的簡化、壓縮功能；

（3）感受指數函數、冪函數、對數函數增長快慢的巨大差異.

【教學重點】對數函數的定義和性質.

【教學難點】（1）指數函數與對數函數互為反函數；（2）底數a的大小與函數圖像變化.

【關鍵】利用對數和指數的互逆關系解釋函數概念的本質突破難點（1）；利用幾何畫板直觀演示底數a的變化對函數圖像的影響來突破難點（2）.

【教學方法】問題驅動、概念同化、引導探究.教學手段：PPT、幾何畫板.

【教學流程設計】

【教學過程設計】

1.問題引入（10分鐘）

問題1：什么叫做指數函數，它有什么性質？

教師引導學生回答并顯示表格內容.

問題2：什么是函數，你看清楚函數的真面目了嗎？

教師指著指數函數緊扣其解釋：函數是兩個非空數集之間的一種對應關系；在一個集合中任意取定一個數，總可以在另一個集合里找到唯一確定的數與之對應；前面的集合叫定義域，那些被唯一確定的所有數組成的集合叫做值域；函數概念的關鍵是由誰唯一確定了誰；函數概念與兩個變量所用的符號沒有什么關系，就像人的名字一樣（圓的面積S是半徑r的函數，這里并沒有x、y）；函數其實就是一個系統，一臺機器，它由兩個變量，兩個非空數集，對應法則f（比如乘2加3，平方，表格對應，箭頭對應，……）構成，不能把函數值f（x）當成函數，也不能把對應法則f當成函數.我們可以說一個變量是另一個變量的函數，但不能把變量x、y當成函數，因為函數不是變量，而是一個系統.

問題3：已知指數函數y=ax，請問變量x是否是y的函數？

師生一起驗證其符合函數的定義，x是y的函數，因為由指數函數的圖像和性質可知，y的每一個取值，都能找到唯一確定的x與之對應.對應關系是x=logay，y∈（0，+∞）.最后給出對數函數的定義.為了在同一平面直角坐標系下研究不同函數的性質，我們通常用x表示自變量，y表示函數，形如y=logax（a＞0且a≠1）的函數叫做對數函數.定義域為（0，+∞）.

【設計意圖】通過對函數的定義的剖析得到對數函數，加深對函數定義的理解，也有助于學生形成系統的知識結構，體會知識的融會貫通.

2.探究發現（15分鐘）

問題4：不用查表，不用計算器，能否知道下列各組數中哪一個大？

（1）log0.53.4，log0.58.5.

（2）loga3.4，loga8.5（a＞0且a≠1）.

教師活動：第二組數即使是對數表也不能派上用場.我們在學習指數函數時，學到了一種重要的數學思想：一般化！即面對兩個具體的數值大小比較難題，我們把問題一般化，將它們看成是某一函數的兩個函數值，利用函數的單調性就可以判斷誰大誰小！

要想解決這兩個難題，我們先來研究對數函數的圖像和性質.

問題5：請在同一坐標系中畫出對數函數的圖像，教師引導學生分兩組合作，分別畫出y=log2x和log3x和的圖像.

問題6：每一組圖像有什么特點？

展示學生的成果并觀察圖像，引導學生得出圖像特點：

①圖像都在y軸右側；

②都過點（1，0），即loga1=0；

③當a＞1時，圖像沿x軸正向逐步上升；當0＜a＜1時，圖像沿x軸正向逐步下降.

④y=log2x與的圖像關于x軸對稱.

問題7：對數函數的圖像有哪些典型的類別？

學生活動：思考問題并進行猜想.

教師活動：肯定學生的發現，并利用幾何畫板，選取底數a（a＞0，且a≠1）的若干個不同的值，在同一平面直角坐標系中作出相應對數函數的圖像，歸納出圖1中兩個函數圖像的性質.

圖1

類比指數函數，我們可以根據圖像特征探究出對數函數的定義域、值域、單調性、對稱性、過定點等性質，完善以下表格.

【設計意圖】學生在探究對數函數圖像的過程中，充分體會從特殊到一般的過程，從而得到對數函數的圖像，并類比指數函數的探究方法，得到對數函數的性質.

3.鞏固應用（10分鐘）

例1 求函數y=loga（4-x）（a＞0且a≠1）的定義域.

根據真數大于0，教師引導學生口答并示范板演.

例2 分別比較大小：

（1）log0.53.4，log0.58.5；

（2）loga3.4，loga8.5（a＞0且a≠1）.

教師活動：引導學生口答，并由教師示范板演.

（1）因為log0.53.4和log0.58.5可以看成函數y=log0.5x的兩個函數值，而此函數在（0，+∞）上是減函數，且3.4<8.5，所以log0.53.4>log0.58.5.

（2）因為loga3.4和loga8.5可以看成函數y=logax的兩個函數值，當a>1時，因為函數y=logax在（0，+∞）上是增函數，且3.4<8.5，所以loga3.4

當0loga8.5.

小結：比較同底數的兩個對數的大小，可利用對數函數的單調性，要注意底數的范圍.學生活動：牛刀小試.

（2）已知log0.3m＞log0.3n，比較m，n的大小.

問題8：隨著x的無限增大，三個函數y=10x，y=x，y=lgx的函數值y的大小關系是什么？

圖2

教師活動：（1）幾何畫板顯示圖像，直接指出三個函數值的大小順序；

（2）引導學生口算：當x取0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000，…，一千萬時，常用對數函數值分別是-3，-2，-1，0，1，2，3，…，7來說明y=lgx幾乎是貼著x軸增長到無窮大的.

教師總結：看到沒有，一個如此瘋狂大的數，一旦被取對數后就被壓縮得如此之小！在數學家眼里，取對數就是一臺功能強大的壓縮機！我好喜歡，好寵愛，好膜拜這臺瘋狂的壓縮機！同學們，你呢？

4.歸納總結（5分鐘）

小結：

（1）函數的廬山真面目是什么？

函數是兩個非空數集之間的一種對應關系；在一個集合中任意取定一個數，總可以在另一個集合里找到唯一確定的數與之對應；函數概念中兩個變量的符號不是固定的.函數其實就是一個系統，一臺機器，它由兩個變量，兩個非空數集，對應法則f構成，不能把函數值f（x）當成函數，也不能把對應法則f當成函數.我們可以說一個變量是另一個變量的函數，但不能把變量x、y當成函數，因為函數不是變量，而是一個系統.

（2）我們為什么要學習指數函數、對數函數？

指數函數和對數函數都是函數家族中最簡單的函數.在數學世界和真實世界中，有許多難題最終要化歸為復雜的函數問題，而面對復雜的函數問題，我們必須將其化歸為簡單的函數問題，從而使難題獲解.這一思想在例2中得到了充分體現.

（3）如何記住指數函數、對數函數的性質？

用幾何畫板顯示（見幾何畫板文件“指數函數對數函數圖像”），把底數是a＞1和的指數函數的圖像，放在同一坐標系中合起來就是一個無窮酒杯圖，觀察指數函數圖像，a越大，酒杯越瘦，a越小，酒杯越肥.

由于對數函數是把指數函數中的x和y交換后得出來的，我們就把放在x軸上的酒杯，如此貼著y軸放置，就得到了一只橫放的無窮酒杯，同樣，a越大，酒杯越瘦，由此解釋兩種類型的函數的圖像和性質.

圖3

圖4

通過“橫放的無窮酒杯”，可以更直觀地感受對數函數的定義域、值域、單調性、函數值的取值范圍等.

（4）指數函數y=ax與對數函數y=logax互為反函數.當x無限增大時，三個函數y=lgx，y=10x，y=x的函數值大小關系是什么？

10x遠遠大于x，同時x也遠遠大于lgx.而且y=lgx幾乎是貼著x軸增長到無窮大的，所以取對數就是一臺功能強大的“壓縮機”！

作業：

1.課本P74習題2.2A組第7、8題.

2.分別比較log0.81.3，log0.50.7，log23的大小.

3.課后探究：指數函數與對數函數互為反函數，那么它們的圖像有什么聯系？

【設計意圖】小結意在鞏固本節課所學知識，回顧探索歷程，學習數學思想；并通過“無窮酒杯”的形象和內容的深刻編碼，實現終身記憶指數函數、對數函數中四類函數的圖像和性質之目標.作業1意在使學生進一步強化對數函數的圖像及其性質；作業2意在提高學生的問題解決能力；作業3意在掌握結論：互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y=x對稱.

二、設計說明

（1）對數及對數函數的概念是比較抽象的，其教學必須遵循大道至簡的原則，不能用煩瑣的、復雜的死亡生物體內碳14元素的測定案例來引入.我們反對簡單問題復雜化和復雜問題復雜化的教材編寫和教學設計！

（2）設計時，我們刪除了判斷諸如函數y=log2（4-x）是不是對數函數的問題，因為這不是一個好的數學問題.（如果學生問到此問題，教師可以按照此標準回答：指數函數、冪函數、對數函數的定義都是形式定義，對于形式定義的概念，任何突破模型的形式都不是定義本身［2］）再比如，問學生哪些函數是相等或相同的問題，也不是好的數學問題，因為這一類“是不是”的問題不是數學研究的目標.我們在此呼吁，不要再講、再做、再考這類“是不是”的問題，回歸數學的本質吧！

（3）由于教材砍掉了反函數的定義，于是學生理解“指數函數和對數函數互為反函數”就成了教學難點.無論是舊版的各種版本教材，還是最新的各種版本教材，都是毫無理由地、粗暴地說：指數函數和對數函數互為反函數.為了減少學生對數學的誤解——想怎么“令”就怎么“令”，想怎么“設”就怎么“設”，想怎么“規定”就怎么“規定”，我們做了說點理由的設計.

（4）學了指數函數和對數函數后，我們希望學生能一輩子記住其中的四類函數的性質，于是設計了“無窮酒杯”這一理解模型，以體現華羅庚先生的“由厚到薄”讀書的最高境界.

三、課后反思

（1）畫圖過程時間稍長，導致后面的小結還不夠到位.

（2）在問題8的處理上，通過學生口算，直觀感受取對數的強大壓縮功能，但是在教學過程中，由于教師并沒有在10000000這一數據上，給予學生更充分的想象，且情緒不夠強烈，不足以帶動學生對取對數這一壓縮功能的形象感知，因此“讓學生愛上對數”這一目標的實現估計不充分.

（2）小結中“無窮酒杯”的解讀還不夠深刻，且未明確點出其優越之處：舉一反三.只要記住“無窮酒杯”的特征，就把指數函數和對數函數的性質全部理解掌握了.時間不夠，可以提出課后思考問題：對于由底確定的一族對數函數，對同樣的自變量的取值，函數值的大小與底的大小有什么關系？