例析頻率分布直方圖中的問題

■張 鋼 張啟兆

頻率分布直方圖中的相關問題是高考的熱點問題,那么,頻率分布直方圖中到底涉及哪些問題,又如何求解呢?下面舉例分析,供同學們學習與提高。

例1(2018年高考全國卷)某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據(單位：m3)和使用了節水龍頭50天的日用水量數據,得到了頻數分布表分別如表1,2所示。

表1

表2

(1)作出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖。

(2)估計該家庭使用了節水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率。

(3)估計該家庭使用節水龍頭后,一年能節省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數據以這組數據所在區間的中點值作代表)

解：(1)由題意畫出頻率分布直方圖,如圖1所示。

圖1

(2)根據以上數據,該家庭使用了節水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此該家庭使用了節水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48(頻率的近似值可視為概率)。

估計使用節水龍頭后,一年可節省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3)。

評注：本題主要考查頻率分布直方圖的繪制,考查利用樣本估計總體以及對數據的處理能力。通過本題的解析,可以得到頻率分布直方圖中所涉及的3個注意點：①在畫頻率分布直方圖時,一定要注意縱軸表示的②求某一范圍內的頻數或頻率(概率),只需將這一范圍內的頻數或頻率相加即可。③眾數是最高矩形底邊中點橫坐標所對應的數據,它表示樣本數據的中心值;中位數是一組數據按從小到大(或從大到小)的順序依次排列,處在中間位置的一個數(或最中間兩個數據的平均數),在頻率分布直方圖中,中位數左邊和右邊的直方圖面積相等,由此可估計中位數的值,但有偏差;樣本數據的平均數等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。

例2某市組織高一全體學生參加計算機操作比賽,比賽成績等級分為1至10分,隨機調閱了A,B兩所學校各60名學生的成績,得到樣本數據A校的條形圖(如圖2)和樣本數據B校的統計表(如表3)。

圖2

表3

(1)計算兩校樣本數據的均值和方差,并根據所得數據進行比較。

(2)從A校樣本數據成績分別為7分,8分和9分的學生中按分層抽樣方法抽取6人,若從抽取的6人中任選2人,求這2人成績之和大于或等于15的概率。

解：(1)由A校樣本數據的條形圖可知,成績分別為4分,5分,6分,7分,8分,9分的學生分別有6人,15人,21人,12人,3人,3人。

所有基本事件為ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15種情況,其中滿足條件的基本事件為ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9種情況,所以從抽取的6人中任選2人,這2人成績之和大于或等于15的概率為

評注：本題主要考查平均數、方差的求法。理解頻率分布直方圖中常用的幾個等量關系是解決這類問題的關鍵,頻率分布直方圖中常用的7個等量關系：①頻率=