一道樣本的數字特征與頻率分布直方圖的交匯問題

■徐春生

題目海水養殖場進行某水產品的舊,新網箱養殖方法產量對比,收獲時各隨機抽取了100個網箱,測量各箱水產品產量(單位：kg),其舊、新網箱養殖法的頻率分布直方圖分別如圖1、圖2所示。

圖1

圖2

根據頻率分布直方圖,下列說法正確的是( )。

①新網箱產量的方差的估計值高于舊網箱產量的方差的估計值;②新網箱產量的中位數的估計值高于舊網箱產量的中位數的估計值;③新網箱產量的平均數的估計值高于舊網箱產量的平均數的估計值;④新網箱頻率最高組的總產量的估計值接近舊網箱頻率最高組的總產量的估計值的兩倍。

A.①②③ B.②③④

C.①③④ D.①④

解：舊網箱產量的平均數=27.5×0.06+32.5×0.07+37.5×0.12+42.5×0.17+47.5×0.2+52.5×0.16+57.5×0.1+62.5×0.06+67.5×0.06=47.1,舊網箱產量的方差=(27.5-47.1)2×0.06+(32.5-47.1)2×0.07+(37.5-47.1)2×0.12+(42.5-47.1)2×0.17+(47.5-47.1)2×0.2+(52.5-47.1)2×0.16+(57.5-47.1)2×0.1+(62.5-47.1)2×0.06+(67.5-47.1)2×0.06=107.34。新網箱產量的平均數37.5×0.02+42.5×0.1+47.5×0.22+52.5×0.34+57.5×0.23+62.5×0.05+67.5×0.04=52.35,新網箱產量的方差=(37.5-52.35)2×0.02+(42.5-52.35)2×0.1+(47.5-52.35)2×0.22+(52.5-52.35)2×0.34+(57.5-52.35)2×0.23+(62.5-52.35)2×0.05+(67.5-52.35)2×0.04=39.7275。因為＜＜,所以新網箱產量的平均數的估計值高于舊網箱產量的平均數的估計值,新網箱產量的方差的估計值低于舊網箱產量的方差的估計值,①錯誤,③正確。舊養殖法中,前4組的頻率之和為(0.012+0.014+0.024+0.034)×5=0.42,第5組的頻率為0.04×5=0.2,因此舊網箱產量的中位數在第5組[45,50]之間。新養殖法中,前3組的頻率之和為(0.004+0.02+0.044)×5=0.34,第4組的頻率為0.068×5=0.34,因此新網箱產量的中位數在第4組[50,55]之間。所以新網箱產量的中位數的估計值高于舊網箱產量的中位數的估計值,②正確。舊網箱頻率最高組的總產量的估計值為47.5×100×0.2=950,新網箱頻率最高組的總產量的估計值為52.5×100×0.34=1785,所以新網箱頻率最高組的總產量的估計值接近舊網箱頻率最高組的總產量的估計值的兩倍,④正確。應選B。

評析：在頻率分布直方圖中,最高的矩形底邊中點的橫坐標為眾數;中位數左邊和右邊的矩形的面積之和是相等的;平均數是頻率分布直方圖的“重心”,它等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以矩形底邊中點的橫坐標之和。