頻率分布直方圖的應(yīng)用舉例剖析

■蔣慶富

頻率分布直方圖是表示和分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的重要工具,是高考考查的重點(diǎn)。下面總結(jié)頻率分布直方圖的幾種常見應(yīng)用,希望能幫助同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固與提高。

一、頻率分布表或頻率分布直方圖的應(yīng)用

例1某車站在春運(yùn)期間為了改進(jìn)服務(wù),隨機(jī)抽樣調(diào)查了100名旅客從開始在購(gòu)票窗口排隊(duì)到購(gòu)到車票所用的時(shí)間t(以下簡(jiǎn)稱購(gòu)票用時(shí),單位：min)。下面是這次抽樣的頻率分布表(如表1)和頻率分布直方圖(如圖1),則旅客購(gòu)票用時(shí)的平均數(shù)可能落在( )。

表1

圖1

A.第二組 B.第三組

C.第四組 D.第五組

解：由頻率分布表可得,第四組的頻率為1-0.1-0.1-0.3=0.5。

由頻率分布直方圖可得,旅客購(gòu)票用時(shí)的平均數(shù)為7.5×0.1+12.5×0.1+17.5×0.5+22.5×0.3=17.5,所以旅客購(gòu)票用時(shí)的平均數(shù)落在第四組。應(yīng)選C。

本題考查頻率分布表和頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和頻率的求法。解題時(shí),先求第四組的頻率,再求平均數(shù),從而可以判斷平均數(shù)落在哪個(gè)小組。

二、求頻數(shù)或頻率

例2某市高一數(shù)學(xué)抽樣考試中,對(duì)90分及以上的成績(jī)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖2所示,若(130,140]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為20人,則(90,110]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為( )。

圖2

A.18 B.180

C.28 D.280

解：由頻率分布直方圖可得(130,140]分?jǐn)?shù)段的頻率為0.005×10=0.05。

由(130,140]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為20,可得

因?yàn)?90,110]分?jǐn)?shù)段的頻率為(0.045+0.025)×10=0.7,所以(90,110]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為0.7×400=280。應(yīng)選D。

本題考查頻數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力。頻數(shù)表示某一項(xiàng)或某一組出現(xiàn)的次數(shù),是直觀的數(shù)量;頻率是某一組在總體中所占的比例,即=頻率,所以頻率之和一定等于1。

三、求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),中位數(shù)或眾數(shù)

例3為適應(yīng)新的高考改革,某校從高一開始組建了一個(gè)試驗(yàn)班。已知該班某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的頻率分布直方圖如圖3所示,設(shè)其成績(jī)的眾數(shù),中位數(shù)分別為x,y,則|x-y|=( )。

圖3

A.4 B.4.5

C.5 D.5.5

解：由頻率分布直方圖可得眾數(shù)x=

由成績(jī)?cè)赱40,70)上的頻率為(0.005+0.015+0.03)×10=0.5,可得中位數(shù)y=70,所以|x-y|=|65-70|=5。應(yīng)選C。

本題考查眾數(shù),中位數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程思想。

例4據(jù)全球權(quán)威票房網(wǎng)站Mojo數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),截至2017年8月20日14時(shí),《戰(zhàn)狼2》國(guó)內(nèi)累計(jì)票房50億,截至目前,《戰(zhàn)狼2》中國(guó)市場(chǎng)觀影人次達(dá)1.4億,這一數(shù)字也創(chuàng)造了全球影史“單一市場(chǎng)觀影人次”的新紀(jì)錄,為了解《戰(zhàn)狼2》觀影人的年齡分布情況,某調(diào)查小組隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了100個(gè)此片的觀影人的年齡(他們的年齡都在區(qū)間[10,60]內(nèi)),并繪制了如圖4所示的頻率分布直方圖,則由圖可知,這100人年齡的眾數(shù)和平均數(shù)各等于( )。

圖4

A.34,38.2 B.34,32.1

C.35,34.4 D.35,45.6

解：由頻率分布直方圖可得第三組的頻率最大,則這100人年齡的眾數(shù)為35,其平均數(shù)=0.014×10×15+0.024×10×25+0.028×10×35+0.022×10×45+0.012×10×55=34.4。

故這100人年齡的眾數(shù)為35,平均數(shù)為34.4。應(yīng)選C。

在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù),它表示樣本數(shù)據(jù)的中心值;中位數(shù)是左右兩邊的小長(zhǎng)方形的面積相等的底邊的值;平均數(shù)等于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。

四、求頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的高或面積

例5已知一組樣本數(shù)據(jù)被分為[10,20),[20,30),[30,40]三段,其頻率分布直方圖如圖5所示,則從左至右第一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是( )。

圖5

A.0.02 B.0.2

C.0.08 D.0.8

解：由頻率分布直方圖可得,從左至右第一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為1-(0.05×10+0.03×10)=0.2。應(yīng)選B。

本題考查頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力。在頻率分布直方圖中,小長(zhǎng)方形的高長(zhǎng)方形的面積,各小長(zhǎng)方形的面積之和為1。