線性回歸方程常見題型剖析

■李志勤

近幾年高考對相關(guān)關(guān)系以及線性回歸方程的考查力度逐步增加,主要考查同學們的數(shù)據(jù)處理能力、運算能力、閱讀能力,以及利用統(tǒng)計思想解決問題的能力。利用具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量,得到的線性回歸方程可以用來預測與估計,為決策提供依據(jù)。下面通過具體例題剖析線性回歸方程的常見題型。

一、相關(guān)關(guān)系的判斷

例1某數(shù)學小組從醫(yī)院和氣象局獲得2018年1月至6月每月20日的晝夜溫差x(單位：℃,x≥3)和患感冒人數(shù)y(單位：人)的數(shù)據(jù),畫出如圖1所示的折線圖。

圖1

(1)建立y關(guān)于x的回歸方程(精確到0.01),預測2019年1月至6月晝夜溫差為4℃時患感冒的人數(shù)(精確到整數(shù))。

(2)求y與x的相關(guān)系數(shù),并說明y與x的相關(guān)性的強弱(若r＞0.75,則認為y與x具有較強的相關(guān)性)。

分析：(1)由已知求得b與a的值,即得線性回歸方程,取x=4求得y的值,可預測2019年1月至6月晝夜溫差為4℃時患感冒的人數(shù);(2)求出的值,結(jié)合b的值進一步求得r的值,可得y與x的相關(guān)性。

解：(1)由已知條件可得b=17,a=17-2.61×9.15≈-6.88,所以y關(guān)于x的線性回歸方程為^y=2.61x-6.88。當x=4時,^y=2.61×4-6.88≈4。

故預測2019年1月至6月晝夜溫差為4℃時患感冒的人數(shù)為4。

當r＞0時,表明兩個變量正相關(guān);當r＜0時,表明兩個變量負相關(guān);r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強,r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。通常當|r|＞0.75時,認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性。

二、利用線性回歸方程進行預測

例2已知某校5個學生期末考試數(shù)學成績和總分年級排名如表1所示。

表1

(1)通過大量事實證明發(fā)現(xiàn),一個學生的數(shù)學成績和總分年級排名具有很強的線性相關(guān)關(guān)系,在表1是正確的前提下,用x表示數(shù)學成績,用y表示年級排名,求y與x的回歸方程。(其中b,a都取整數(shù))

(2)在本次考試中,預計數(shù)學分數(shù)為120分的學生的年級排名大概是多少。

分析：(1)求出x,y的平均數(shù),再求出相關(guān)系數(shù),即可求出回歸方程;(2)由x的值,可求出y的預報值。

解：(1)由表1可得(115+112+93+125+145)=118,(250+300+450+70+10)=216。

利用參考公式可得b=-9,a=1278,故y與x的回歸方程為^y=-9x+1278。

(2)當x=120時,^y=198,故預計數(shù)學分數(shù)為120分的學生的年級排名大概是198。

本題考查求回歸方程問題,考查函數(shù)的求值問題,屬于一道常規(guī)題。利用回歸直線可以由一個變量的變化推測另一個變量的變化,為決策提供依據(jù),可見利用回歸直線可以對實際問題進行分析與預測。

三、對線性回歸方程性質(zhì)的考查

例3在“新零售”模式的背景下,自由職業(yè)越來越流行,諸如：淘寶網(wǎng)店主、微商等。現(xiàn)調(diào)研某自由職業(yè)者的工資收入情況,記x表示該自由職業(yè)者平均每天工作的時間(單位：h),y表示平均每天工作xh的月收入(單位：千元)。x,y的對應值如表2所示。

表2

假設(shè)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,則y關(guān)于x的線性回歸方程^y=bx+a必經(jīng)過點( )。

A.(3,3) B.(3,4)

C.(4,4) D.(4,5)

分析：根據(jù)所給的數(shù)據(jù),求出x和y的平均數(shù),得到數(shù)據(jù)的樣本中心點,根據(jù)線性回歸方程一定過樣本中心點,即得線性回歸直線一定經(jīng)過的點的坐標。

解：由可得這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是(4,4)。

因為線性回歸方程過樣本中心點,所以線性回歸方程一定過點(4,4)。應選C。

本題考查線性回歸方程的性質(zhì),即線性回歸方程一定過樣本中心點。解答本題的關(guān)鍵是正確求出樣本中心點,題中的運算量比較小,屬于統(tǒng)計問題的基礎(chǔ)題。

四、線性回歸方程的交匯問題

例4某工廠為了對研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如表3所示的數(shù)據(jù)。

表3

(1)若銷量y與單價x服從線性相關(guān)關(guān)系,求該回歸直線方程。

(2)在(1)的前提下,已知該產(chǎn)品的成本是5元/件,問該產(chǎn)品如何確定單價,可使工廠獲得最大利潤。

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線方程=bx+a的斜率的最小二乘估計值為b=

分析：(1)由題意求出b與a的值,可得線性回歸方程;(2)設(shè)該產(chǎn)品的售價為x元,工廠利潤為L元,由題意可得L=(x-5)·(-20x+280)=20(x-5)(14-x),然后利用二次函數(shù)求最值。

解：(1)由題意可得則a==90+20×9.5=280。故回歸直線方程為^y=-20x+280。

(2)設(shè)該產(chǎn)品的售價為x元,工廠利潤為L元。因為當x≤5時,利潤L≤0,定價不合理,所以x＞5。由^y=-20x+280＞0,可得x＜14,故5＜x＜14。

由題意可得L=(x-5)(-20x+280)=20(x-5)(14-x),根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,當x=9.5時,L取得最大值。因此為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應定為9.5元。

線性回歸方程的交匯命題主要有兩類：一是與概率、統(tǒng)計的交匯,二是與函數(shù)的交匯。解答這類問題要綜合利用線性回歸方程的性質(zhì)求解。

五、線性回歸方程在生活中的應用

例5某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展,居民收入逐年增長,表4所示的是該地一建設(shè)銀行連續(xù)5年的儲蓄存款(年底余額)。

表4

為了研究和計算的方便,工作人員將表中的數(shù)據(jù)進行了處理,t=x-2012,z=y-5,由此得到了表5。

表5

(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程。

(2)通過(1)中的方程,求出y關(guān)于x的回歸方程。

(3)用所求回歸方程預測到2022年年底,該地儲蓄存款額可達多少?

分析：(1)由表中的數(shù)據(jù)求得,再得到b與a,即得線性回歸方程;(2)將t=x-2012,z=y-5代入=1.2t-1.4,可得y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用(2)中的回歸方程,令x=2022,即可求得y的值。

解：(1)由可得1.4。

本題主要考查線性回歸方程的求法,考查計算能力,考查數(shù)學思想在統(tǒng)計中的應用。