直擊樣本的數(shù)字特征的交匯問題

■王佩其

大家知道,樣本的數(shù)字特征主要包括樣本的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù),方差(標(biāo)準(zhǔn)差),它是統(tǒng)計知識的一個核心考點。高考對樣本的數(shù)字特征的考查往往是與其他知識相結(jié)合,以交匯題的形式出現(xiàn)的。下面舉例說明,供同學(xué)們參考。

一、與頻率分布直方圖的交匯

例1某校初三年級有400名學(xué)生,隨機抽查了40名學(xué)生測試1min仰臥起坐的成績(單位：次),將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖1所示的頻率分布直方圖。用樣本估計總體,下列結(jié)論正確的是( )。

圖1

A.該校初三學(xué)生1min仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為25

B.該校初三學(xué)生1min仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為24

C.該校初三學(xué)生1min仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約有80

D.該校初三學(xué)生1min仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為8

解：因為第一組數(shù)據(jù)的頻率為0.02×5=0.1,第二組數(shù)據(jù)的頻率為0.06×5=0.3,第三組數(shù)據(jù)的頻率為0.08×5=0.4,所以中位數(shù)在第三組內(nèi)。設(shè)中位數(shù)為25+x,則x×0.08=0.5-0.1-0.3=0.1,故x=1.25,可得中位數(shù)為26.25,A錯誤。第三組數(shù)據(jù)所在的小矩形最高,第三組數(shù)據(jù)的中間值為27.5,所以眾數(shù)為27.5,B錯誤。1min仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.04×5=0.2,所以超過30次的人數(shù)為400×0.2=80,C正確。1min仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.02×5=0.1,所以1min仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為400×0.1=40,D錯誤。應(yīng)選C。

頻率分布直方圖與眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)的關(guān)系：最高的小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)為眾數(shù);中位數(shù)左邊和右邊的小矩形的面積之和是相等的;平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,它等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和。

二、與莖葉圖的交匯

例2已知某選手的9個得分,去掉1個最高分,去掉1個最低分,7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91。現(xiàn)場制作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊,無法辨認(rèn),在圖2中用x表示,則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為

圖2

解：由莖葉圖可知,去掉的兩個數(shù)是87和99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4,可得這個模糊數(shù)據(jù)為94,故7個剩余分?jǐn)?shù)的方差s2=[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=

莖葉圖既可以表示兩組數(shù)據(jù),也可以表示一組數(shù)據(jù),用它表示的數(shù)據(jù)是完整的數(shù)據(jù),因此可以從莖葉圖中看出數(shù)據(jù)的眾數(shù)(數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù))、中位數(shù)(中間位置的一個數(shù),或中間兩個數(shù)的平均數(shù))等。

三、與優(yōu)化決策問題的交匯

例3甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次,每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖3所示。

圖3

(1)請?zhí)顚懕?中的數(shù)據(jù),并寫出計算過程。

表1

(2)從下列三個不同的角度對這次測試結(jié)果進行分析。

①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績更穩(wěn)定);②從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些);③從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看(分析誰更有潛力)。

解：(1)由圖3可知,甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,將它們由小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9。

乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,將它們由小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10。

由此可填表如表2所示。

表2

(2)①因為平均數(shù)相同,且s2甲＜s2乙,所以甲成績比乙穩(wěn)定。

②因為平均數(shù)相同,命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲比乙少,所以乙成績比甲好些。

③因為甲成績在平均數(shù)上下波動,而乙處于上升勢頭,從第三次以后的射擊環(huán)數(shù)就沒有比甲少的情況發(fā)生,所以乙更有潛力。

用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征。平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平;方差(標(biāo)準(zhǔn)差)描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小。方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定。

圖4是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是

圖4

提示：由莖葉圖可知,甲比賽得分的中位數(shù)為28,乙比賽得分的中位數(shù)為36。

所以甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和為28+36=64。