《簡單數陣2》教學實錄與反思

閆文娟 狄 飛

【教學內容】

《“學數學 長智慧”超市》“構建等式1”第35～40頁。

【學情分析】

根據《構建等式1》本身的編排，我們切分出四節新授課，分別如下表——

選數字構建等式1 第一課時 第二課時 第三課時 第四課時內容 和相等 簡單數陣1 簡單數陣2小房子數陣簡單數陣3正方形數陣樣例 □+□=□+□

因此，上本節課之前學生已經有了構建和相等的式子及利用和相等的式子填寫簡單數陣的基礎，在這節課中，希望進一步應用和相等的知識解決數陣問題，進一步積累排除數陣形狀干擾，分析實質結構的經驗，發展思維的抽象性和靈活性。

【教學重點與難點】

重點：學生能夠抽象出數陣中的基本結構□=□+□。

難點：在把握數學結構的基礎上，能夠有序地得到更多答案。

【教學方法】

提問法、討論法、示范法。

【教學過程】

一、引入課題

師：把4、5、6、7、8分別填在下圖的○里，使每個三角形三個頂點數的和相等。

師：上節課我們填寫過一個蝴蝶數陣（如上圖），你們還記得是怎么填的嗎？

生：左邊填4、7，中間填8，右邊填5、6。

生：我想這樣填，左邊填6、7，中間填4，右邊填5、8。

生：老師，他們的意思其實就要讓左邊○里兩個數的和等于右邊○里兩個數的和。

師：為什么只要左邊兩個數的和等于右邊兩個數的和就可以？

生：中間這個數是重復計算的數，只要左邊的和等于右邊的和，再加同一個數，和還是會相等。

生：因為中間這個數是“重復數”。去掉重復數，剩下部分的和相等就可以了。

小結：看來大家都有了經驗，我們在填寫數陣的時候，要注意分辨“重復數”和“朋友數”。

二、探索新知

1.明確題意。

從1～9這九個數中，選五個填在下面圖形的○內，使三角形頂點上三個數的和與正方形頂點上四個數的和相等。

師：誰能跟大家講一講，這個題目要我們做什么？

生：三角形頂點上三個數的和等于正方形頂點上四個數的和。

（教師依言演示課件）

師：大家能不能自己試著來填一填？看看誰的方法好？

2.一次探究。

（1）學生自主嘗試三分鐘。

（2）反饋與交流。

師：閆老師挑選了幾個比較有意思的作業，大家一起來看看。

（展示下圖左）

生：他是錯的。

師：你怎么知道他是錯的？

生：因為他的三角形跟下面的正方形加起來是不相等的。5+2+1=8，2+1+6+7肯定比8大。

師：我們再來讀一讀題目。

（展示下圖右）

生：對了！

師：你們怎么檢查出來他是對的？

生：三角形是8+1+2=11。正方形是1+2+3+5=11。三角形數的和等于正方形數的和。

生：老師，我還有一種檢查的方法，你們看上面的8正好等于下面的3+5，這樣三角形數的和肯定等于正方形數的和了。

師：大家琢磨琢磨，他說三角形這個頂點上的8和正方形這條底邊上的3+5相等，整個三角形和整個正方形就相等，你們覺得這樣可以嗎？

生：老師，我覺得可以。我發現中間這條邊是重復加的。

生：它是重復數。它們兩個是重復數！

生：房頂上這個數和下面的底邊是朋友數。

小結：把蝴蝶數陣里的好辦法搬過來了。原來中間是——重復數，而房頂上的○和底邊上兩個○是——朋友數。

師：這樣的話，我們可以怎么檢查？

引導檢查部分新作品——

師：那我們填寫可以用上什么竅門？

生：朋友數相等，重復數隨便填。

生：和蝴蝶數陣一樣，先填和相等的部分，再把剩下的數填在重復的地方。

3.二次探究。

師：我們發現了重復數和朋友數的秘密了，那大家是不是能填得更好了？再試一次，我們還用三分鐘，比比誰的答案又多又好。

（學生嘗試，組織反饋）

師：好了，時間到！你們填了幾個？5個？6個？還要多？

師：我們請填得多的同學先來介紹一下，為什么大家都掌握了重復數和朋友數的小秘密，他們會比我們填得多呢？

生：我先寫好上面的9，下面寫1和8；再寫好9，下面寫2和7；再寫好 9，下面寫 3和 6；再寫好9……

師：誰聽懂他的意思了？他是怎么做的呀？

生：老師，我知道了，這個同學先分解9，上面是9，下面換朋友。

師：那你猜猜他接下來準備分解誰？上面寫誰？下面呢？

生：我也知道，我也知道。這個同學接下來上面會寫8，下面寫1和7；上面再寫8，下面寫2和6……把8分解完。

師：然后呢？

生：上面寫7……

師：那你們覺得這個辦法好不好，好在哪里？

生：我覺得很好，他是有順序的來找一個數，然后拆成兩個數的和。

生：我要向他學習，這樣就不會重復了。9、8、7、6……

師：這個秘密知道的人還不少呢！這個同學也用到了有順序定頂點數的辦法，可是他比剛才的這位寫得還多，這又是為什么呢？（出示部分數陣圖）

生：我發現了,他頂點數和底邊數不變的時候，中間在換數。

生：他中間換的時候也是有順序的，有規律的。2和3，3和4，4和5，一個一個大起來。

師：這個同學除了找朋友數有規律，還有什么訣竅？

生：找重復數也有規律，有順序。

師：那我們照著他的樣子寫一組7好不好。上面寫7，下面可以寫？這時候中間——

4.課堂總結。

師：想想我們今天這節課遇到了什么問題？我們是怎么來解決今天這個問題的？這節課你有什么收獲？

生：我們發現頂上的1個○等于底下的2個○。朋友數可能是一對一對的，也可能是一個對幾個的。

生：我們把中間的兩個數有順序換一換，原來的一種答案就變成很多種了

生：我知道了填寫數陣不能光湊數，還是要先看一看有什么秘密，有沒有重復數和朋友數，這樣填起來又快又輕松。

小結：當我們用火眼金睛看出數陣里的“重復數”和“朋友數”，數陣就變簡單了，所以觀察題目很重要。另外，知道了原理以后，有序的思考和填寫，可以幫我們找到更多答案。

三、教學效果分析

為了驗證教學的有效性，我們進行了前后測。

1.課前在未作特別說明的情況下，使用前測題目以了解學生在自發狀態下會如何應對“小房子”數陣，以便確定教學的起點和序列。

前測題目是：從1～9這九個數中，選五個填在“小房子”數陣的○內，使三角形頂點上三個數的和與正方形頂點上四個數的和相等。

2.課后立即完成后測題目，以了解本節課的落實度，以及學生仍感到困難的是什么？

后測題目是：從 2，3，4，6，7，9中選五個數填在“小房子”數陣的圓內，使三角形頂點上三個數的和與正方形頂點上四個數的和相等。

3.我們根據學生作品中使用的解題策略，把他們的解題水平描述為五個等級——

零級策略 不會寫，都是錯的一級策略個別答案是對的，但都是通過完整地計算三角形數的和與正方形數的和得到的，沒有有效的策略。二級策略 已經概括出一個頂點數=兩個底邊數，但書寫答案非常隨意。三級策略不僅發現一角形頂點數=正方形底邊數，而且能有序變化這組朋友數。四級策略概括出三角形頂點數=正方形底邊數，不僅朋友數是有序變化的，而且重復數也是有序更替的。

按上述五個等級，統計學生的前測和后測情況發現——

可見，即使后測題目較前測題目在數據設計上明顯增加了難度，達到三級和四級策略水平的學生數仍遠遠高于前測。這不僅說明抽象結構和有序思考不是兒童原生態的思維方式，而且說明，通過合適的訓練和交流，兒童能夠很快地學習到這樣的思維方式，從而大大提升思維水平，提高解題效率。

4.加權平均分。

進一步使用加權平均分的方法整體比較學生在學習前后的解題水平。

4級策略權重 0 10% 20% 30% 40%0級策略1級策略2級策略3級策略前測 后測加權平均分 8.8 17.2

學生的加權平均分顯著提升，前測和后測差異顯著，說明學生整體的策略水平都有了提升。

新思維數學一貫主張，不僅要關注兒童學習的現實性，還要開發兒童學習的可能性，我們在填數陣的系列訓練中，再次看到，如果設計合適的學習任務，兒童的思維是有潛力的，可訓練的。