聚焦高考對概率統(tǒng)計(jì)大題考查的新視角

■安徽省宿州應(yīng)用技術(shù)學(xué)校 張 剛

統(tǒng)計(jì)與概率知識在近幾年高考全國Ⅰ卷考查中占有很重要的位置，由于它聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用，能很好地考查考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，概率與統(tǒng)計(jì)大題無疑是近幾年高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，并且常考常新，每年都有精彩試題出現(xiàn)。下面以全國各地概率與統(tǒng)計(jì)部分模擬試題為例，聚焦概率與統(tǒng)計(jì)大題呈現(xiàn)的新視角，來幫助同學(xué)們更好地復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容。

視角1——古典概型與隨機(jī)變量結(jié)緣

例1(2019年惠州高三第一次調(diào)研理20)甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪70元，每單抽成2元；乙公司無底薪，40 單以內(nèi)(含40 單)的部分每單抽成4元，超出40單的部分每單抽成6元。假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其100 天的送餐單數(shù)，得到表1 和表2所示的頻數(shù)表：

表1 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

表2 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

(1)現(xiàn)從甲公司記錄的這100 天中隨機(jī)抽取2 天，求這2 天送餐單數(shù)都大于40 的概率。

(2)若將頻率視為概率，回答以下問題：

①記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為他作出選擇，并說明理由。

解析：(1)記“從甲公司抽取的2 天送餐單數(shù)都大于40”為事件M，則P(M)

(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為a。

當(dāng)a=38時，X=38×4=152；

當(dāng)a=39時，X=39×4=156；

當(dāng)a=40時，X=40×4=160；

當(dāng)a=41時，X=40×4+1×6=166；

當(dāng)a=42時，X=40×4+2×6=172。

所以X 的所有可能取值為152，156，160，166，172。

所以X 的分布列如表3所示：

表3

②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5。

所以甲公司送餐員日平均工資為70+2×39.5=149(元)。

由①得乙公司送餐員日平均工資為162元。

因?yàn)?49＜162，所以推薦小明去乙公司應(yīng)聘。

點(diǎn)評：本題主要考查古典概型和隨機(jī)變量的分布列，利用組合數(shù)法準(zhǔn)確列舉事件的種數(shù)，求出概率。根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列特征，求出數(shù)學(xué)期望，進(jìn)行決策，從而解決實(shí)際生活問題，體現(xiàn)出高考對統(tǒng)計(jì)與概率這部分知識的綜合應(yīng)用的基礎(chǔ)考查，一般這類題難度不大。

視角2——二項(xiàng)分布與莖葉圖牽手

例2(2019年安徽高三上聯(lián)考理20)前不久安徽省社科院發(fā)布了2017年度“安徽城市居民幸福排行榜”，銅陵市成為本年度安徽“最幸福城市”。隨后師大附中學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度。現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖1 所示的莖葉圖(以小數(shù)點(diǎn)前面的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)。

圖1

(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

(2)若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”，求從這16人中隨機(jī)選取3 人，至多有1 人的幸福度是“極幸福”的概率；

(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記ξ 表示選到幸福度為“極幸福”的人數(shù)，求ξ 的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解析：(1)由莖葉圖知8.6出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)為8.6；將莖葉圖中的所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得中位數(shù)為8.75。

(2)設(shè)事件Ai(i=0，1，2，3)表示所選3人中有i 人的幸福度是“極幸福”，至多有1人的幸福度是“極幸福”記為事件A，結(jié)合莖葉圖得P(A)=P(A0)+P(A1)

(3)方法一：ξ 的所有可能取值為0，1，2，3，由樣本估計(jì)總體知，任選1人，其幸福度為“極幸福”的概率為，則P(ξ=0)=

所以ξ 的分布列如表4所示：

表4

方法二：ξ 的所有可能取值為0，1，2，3，由樣本估計(jì)總體知，任選1 人，其幸福度為“極幸福”的概率為

所以ξ 的分布列如表5所示：

表5

點(diǎn)評：若有n 個相互獨(dú)立的事件，每個事件在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率均為P，設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中這n 個相互獨(dú)立事件發(fā)生的個數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B(n，p)。

視角3——正態(tài)分布與概率統(tǒng)計(jì)交匯

例3(2019年安徽五校聯(lián)盟高三上第二次質(zhì)檢理20)在某市高中某學(xué)科競賽中，某一個區(qū)4 000名考生中的參賽成績統(tǒng)計(jì)圖如圖2所示。

圖2

(2)由直方圖可認(rèn)為考生競賽成績z 服從正態(tài)分布，N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取考生的平均成績和考生成績的方差s2，那么該區(qū)4 000 名考生的成績超過84.81 分(含84.81分)的人數(shù)估計(jì)有多少?

(3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計(jì)全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機(jī)抽取4 名，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為ξ，求P(ξ≤3)。(精確到0.001)

附：①s2=204.75，≈14.31；②0.841 34≈0.501；③z～N(μ，σ2)，則P(μ-σ＜z＜μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ＜z＜μ+2σ)≈0.954 5。

解析：(1)由題意可得表6。

表6

(2)依題意z 服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ==70.5，σ2=D(ξ)=204.75，σ=14.31，所以z服從正態(tài)分布N (μ，σ2)=N(70.5，14.312)。

而P(μ-σ＜z＜μ+σ)=P(56.19＜z＜84.81)≈0.682 7，所以P(z≥84.81)≈≈0.158 7。

又0.158 7×4 000=634.8≈635，所以競賽成績超過84.81分的人數(shù)估計(jì)為635。

(3)全市競賽考生的成績不超過84.81分的概率P ≈1-0.158 7=0.841 3。

因?yàn)棣巍獴(4，0.841 3)，所以P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-×0.841 34≈1-0.501=0.499。

點(diǎn)評：平均值要用每組區(qū)間中點(diǎn)值乘以該組的頻率，然后求和得到。關(guān)于人數(shù)估計(jì)，可以利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解，本題易知成績不超過84.81分的考生人數(shù)ξ 服從二項(xiàng)分布，進(jìn)而可以求解。

視角4——獨(dú)立性檢驗(yàn)與2×2 列聯(lián)表交叉

例4(2019年洛陽高三第二次統(tǒng)考理20)某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車，為制定適宜的經(jīng)營策略，該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進(jìn)行單車使用情況調(diào)查。調(diào)查過程分隨機(jī)問卷、整理分析及開座談會三個階段，在隨機(jī)問卷階段，A，B 兩個調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時收回；在整理分析階段，兩個調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中，針對15至45歲的人群，按比例隨機(jī)抽取了300份，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，具體情況如表7所示：

表7

(1)先用分層抽樣的方法從上述300 人中按“年齡是否達(dá)到35 歲”抽出一個容量為60人的樣本，再用分層抽樣的方法將“年齡達(dá)到35歲”的被抽個體分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”中去。

①求這60人中“年齡達(dá)到35 歲且偶爾使用單車”的人數(shù)。

②為聽取對發(fā)展共享單車的建議，調(diào)查小組專門組織所抽取的“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人員召開座談會。會后共有3份禮品贈送給其中3人，每人1份(其余人員僅贈送騎行優(yōu)惠券)。已知參加座談會的人員中有且只有4人來自A 組，求A 組這4人中得到禮品的人數(shù)X 的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(2)從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可直觀得出“經(jīng)常使用共享單車與年齡達(dá)到m 歲有關(guān)”的結(jié)論。在用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法說明該結(jié)論成立時，為使犯錯誤的概率盡可能小，年齡m 應(yīng)取25 還是35? 請通過比較K2的觀測值的大小加以說明。

解析：(1)①從300人中抽取60人，其中“年齡達(dá)到35 歲”的人數(shù)為再將這20人用分層抽樣法按“是否經(jīng)常使用單車”進(jìn)行名額劃分，其中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù)為

②A 組這4人中得到禮品的人數(shù)X 的所有可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)概率為P(X=0)

故X 的分布列為表8：

表8

(2)按“年齡是否達(dá)到35歲”對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如表9所示的列聯(lián)表：

表9

當(dāng)m=35(歲)時，可求得K2的觀測值：

按“年齡是否達(dá)到25 歲”對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如表10所示的列聯(lián)表：

表10

當(dāng)m=25(歲)時，可求得K2的觀測值：

所以k2＞k1。

欲使犯錯誤的概率盡可能小，年齡應(yīng)取m=25。

點(diǎn)評：本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)與2×2列聯(lián)表的計(jì)算公式的運(yùn)用。正確讀懂“年齡是否達(dá)到35歲”與“年齡是否達(dá)到25歲”，從而建立2×2列聯(lián)表計(jì)算觀測值k1，k2是關(guān)鍵，比較大小即可得出m 的值。其中使用公式解題時的運(yùn)算能力是準(zhǔn)確求解的關(guān)鍵，近年來的高考題，統(tǒng)計(jì)內(nèi)容通常都與概率知識結(jié)合在一起考查，體現(xiàn)出高考在知識交匯處命題的原則。

通過對以上高考模擬試題中出現(xiàn)的概率與統(tǒng)計(jì)大題的賞析，我們發(fā)現(xiàn)，高考中的這類概率與統(tǒng)計(jì)大題具有一定的靈活性、應(yīng)用性、交匯性，特別是今年全國Ⅰ卷甚至出現(xiàn)在壓軸題的位置。因此，同學(xué)們要引起足夠的重視，加強(qiáng)語言文字的閱讀能力，提高概率統(tǒng)計(jì)知識與其他知識的融合能力。只要我們立足基礎(chǔ)，掌握基本方法，跟蹤把握高考命題規(guī)律，就能做到心中有數(shù)，觸類旁通。