以不變應萬變
———復數創新題根源探索

■江蘇省宿豫中學 陸敬渠

縱觀歷年高考數學試題，涉及復數的內容年年都有，主要以考查復數的四則運算為主，考查復數的概念、復數的幾何意義。考查的方向有兩個：一是復數的概念及運算，如復數的實部、虛部、純虛數、復數的相等、共軛復數等概念，以及復數模的運算；二是復數的幾何意義及其應用，如復數對應的點的位置，復數與方程的綜合問題等。分值在5 分左右，屬于中低檔題。但是許多學生在復習時，由于不注重方法，往往事倍功半，其實稍作研究可知，絕大部分試題均可以利用課本中例題、習題、引申題的結論快速求解。

一、考查復數的有關概念

【母題來源一】(人教A 版選修2-2 第104頁練習題1)說出下列復數的實部和虛部：

解析因為該復數的實部和虛部互為相反數，則故選A。

【創新應用2】已知0＜a＜2，復數z 的實部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是( )。

解析：由題意可得z=a+i，則|z|=|a

評注：解決復數概念問題的方法及注意事項：(1)求一個復數的實部與虛部，只需將已知的復數化為代數形式z=a+bi(a，b∈R)，則該復數的實部為a，虛部為b。(2)求一個復數的共軛復數，只需將此復數整理成標準的代數形式，實部不變，虛部變為相反數，即得原復數的共軛復數。

二、考查復數的幾何意義

【母題來源二】(人教A 版選修2-2 第106頁習題A 組第5題(節選))實數m 取什么值時，復平面內表示復數(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的點位于第四象限?

這里的每一道菜，都是美食與京城文化的結合，從各路民間小吃到宮廷小吃；從傳統小吃到京派改良的各式家常特色，應有盡有。除了吃進嘴里的美味，還有吃進腦海的飲食文化，從京八件、京城四大抓，到京味兒壓桌四涼菜，真是一邊飽胃口一邊漲知識呀！

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：復數1+2i，其共軛復數為1-2i，在復平面上所對應的點為(1，-2)，位于第四象限。故選D。

【創新應用4】已知z=m2-1+mi在復平面內對應的點在第二象限，則實數m 的取值范圍是( )。

A.(-1，1) B.(-1，0)

C.(-∞，1) D.(0，1)

解析：因為z=m2-1+mi在復平面內對應的點是(m2-1，m)，且該點在第二象限，所以解得0＜m＜1，所以實數m的取值范圍是(0，1)。故選D。

評注：復數幾何意義問題的解題策略：(1)復數z、復平面上的點Z 及向量相互聯系，即(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀。

三、考查復數的運算

【母題來源三】(人教A 版選修2-2 第116頁復習參考題B 組第1 題)把復數z 的共軛復數記作

A.i B.-1+i

C.-1-i D.-i

解析：由已知可得=-1+i，則z=-1-i。故選C。

評注：復數代數形式運算問題的解題策略：在進行復數的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可；復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可；除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式。

四、考查常見結論的應用

【母題來源四】(人教A 版選修2-2 第116頁復習參考題B 組第2 題)(1)試求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值；

(2)由(1)推測in(n∈N*)的值有什么規律? 并把這個規律用式子表示出來。

A.1 B.-1 C.i D.-i

解析：由-i，知z100+z50+1=(-i)50+(-i)25+1=-i，故選D。

【創新應用7】已知復數z 的模為2，則|z-i|的最大值為( )。

解析：因為|z-i|≤|z|+|i|=3，即|z-i|的最大值3。故選D。

評注：一些常見的結論：(1)(1±i)2==i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*)；(3)i4n+(5)z 為純虛數為純虛數。

五、復數與其他知識的綜合考查

【母題來源五】(人教A 版選修2-2 第116頁復習參考題B 組第3 題)已知復數z1=m+(4-m2)i(m ∈R)，z2=2cos θ+(λ+3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1=z2，求λ 的取值范圍。

解析：因為是純虛數，所以且，所以α 為第二象限角，則cos α故答案為

事實上，對復數的考查都是圍繞著這五類問題展開的。正所謂萬變不離其宗，若是抓住了問題的本質，不論在高考的考場里遇到的是多么創新的題目，經過分析之后，定能在書本的例題或者練習題中找到原型，所以重視書本，回歸書本，才能有堅實的基礎，才能蓋起經得起考驗的高樓大廈。人們常說：撥開云霧見月明! 在學習的道路上，總是會碰見坎坷，但是只要掌握方法，抬頭便是明月!