計數(shù)原理試題探源與應(yīng)用易蘇

■江蘇省沭陽高級中學(xué) 易蘇勝

加法計數(shù)原理和乘法計數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)，正確無誤地理解兩個原理是解決排列組合問題的前提。排列組合也是概率分布的基礎(chǔ)，是高考必考的內(nèi)容。但是排列組合問題卻是非常容易出錯的，既考驗(yàn)考生思維的縝密性，又考驗(yàn)考生臨場的發(fā)揮能力?？梢哉f這部分內(nèi)容是獲得高分路上的絆腳石，是讓很多同學(xué)望而生畏的部分。

大家都知道考試總是來自于課本，但又高于書本的! 幾乎每個問題都可以在書本上找到原型，都是從書本的例題或者練習(xí)題衍化而來的，所以學(xué)透書本知識，找到問題的源頭，一定是不錯的方法。

書本改編1(選修2-3P5 例3 改編)書架的第1層放有4 本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2 本不同的體育書。從書架中任取1 本書，則不同取法的種數(shù)為____。

解析：從書架上任取1 本書，有3 類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機(jī)書，有4種方法；第2類方法是從第2層取1 本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2 種方法。根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N=m1+m2+m3=4+3+2=9。

書本改編2(選修2-3P19例4改編)用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為____。

解析：先排個位，有種排法；再排剩下的三位，有種排法。故共有(種)排法。

書本改編3(選修2-3P28A 組第14 題改編)從5 名女同學(xué)和4 名男同學(xué)中選出4人參加演講比賽，男、女同學(xué)分別至少有1名，則不同的選法有____種。

解析：

書本改編4(選修2-3P28B 組第2題改編)現(xiàn)有4 種不同顏色要對如圖1所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有( )。

圖1

解析：如果先給C 塊著色，有4種結(jié)果；再給A 塊著色，有3種結(jié)果；再給B 塊著色，有2種結(jié)果；最后給D 塊著色，有2種結(jié)果。由分步乘法計數(shù)原理知，不同的著色方法共有4×3×2×2=48(種)。

書本改編5(選修2-3P28A 組第15 題改編)某工廠將甲、乙等五名新招聘的員工分配到三個不同的車間，每個車間至少分配一名員工，且甲、乙兩名員工必須分到同一個車間，則不同分法的種數(shù)為____。

解析：若甲、乙分到的車間不再分人，則分法有若甲、乙分到的車間再分一人，則分法有所以滿足題意的分法共有18+18=36(種)。

創(chuàng)新應(yīng)用1在連接正八邊形的三個頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形的個數(shù)為____。(用數(shù)字作答)

圖2

解析：與正八邊形有公共邊的三角形共有兩類，如圖2所示：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4=32(個)；第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個。由分類加法計數(shù)原理知，滿足題意的三角形共有32+8=40(個)。

圖3

創(chuàng)新應(yīng)用2如圖3，圖案共分9個區(qū)域，有6種不同顏色的涂料可供涂色，每個區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2 和9 同色、3和6 同 色、4 和7 同 色、5 和8 同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有( )。

A.360種 B.720種

C.780種 D.840種

解析：由題意知2，3，4，5 的顏色都不相同，先涂1，有6種方法，再涂2，3，4，5，有種方法，故共有6·=720(種)。

圖4

創(chuàng)新應(yīng)用3工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖4所示的六個位置的螺栓。若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2 個螺栓，則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是_____。

解析：在六個螺栓中隨機(jī)選擇一個固定，有6種不同的選法，不妨選擇以位置1 的螺栓為例，選擇一個與1 不相鄰的位置的螺栓固定，此時有兩類：位置4或位置3，5，當(dāng)選擇位置4時，第三個固定的螺栓位置可以為2，6中的一個，第四個固定的螺栓的位置相應(yīng)有兩種情況，此時第五個固定和第六個固定的位置相應(yīng)確定；當(dāng)選擇位置3，5時，不妨以位置3 為例，此時第三個固定的螺栓的位置可以為5，6中的一個，若第三個固定的位置為5，則第四個固定的位置只有2一種選擇，第五個固定的位置有兩種選擇，第六個固定的位置相應(yīng)確定，若第三個固定的位置為6，則第四個固定的位置只能為4，第五個固定的位置只能為2，第六個固定的位置相應(yīng)確定。綜上所述，不同的固定螺栓方式的種數(shù)為6×[2×2+2×(2+1)]=60。

創(chuàng)新應(yīng)用4從5男3女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1 名女生，則不同的選法共有_____種。(用數(shù)字作答)

解析：第一類，先選1女3男，有30(種)，這4 人中選2 人作為隊(duì)長和副隊(duì)長有=12(種)，故有30×12=360(種)；第二類，先選2女2男，有(種)，這4人中選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)有=12(種)，故有30×12=360(種)；第三類，先選3女1男，有，這4人中選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)有=12(種)，故有5×12=60(種)。根據(jù)分類計數(shù)原理知，不同的選法共有360+360+60=780(種)。

創(chuàng)新應(yīng)用5某省現(xiàn)行的高考招生制度規(guī)定：除語、數(shù)、英之外，考生須從政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)這7門高中學(xué)考科目中選擇3 門作為高考選考科目，成績計入高考總分。已知報考某高校A、B 兩個專業(yè)各需要1門科目滿足要求即可，A 專業(yè)：物理、化學(xué)、技術(shù)；B 專業(yè)：歷史、地理、技術(shù)。考生王某今年打算報考該高校這兩個專業(yè)的選考方式有_____種。(用數(shù)字作答)

解析：依題意得，當(dāng)考生選擇技術(shù)時，兩個專業(yè)均可報考，再從剩下的6 門科目中選擇2門即可，方法有當(dāng)學(xué)生不選技術(shù)時，可以從物理、化學(xué)中選擇1 門科目，再從歷史、地理中選1 門科目，最后從政治、生物中選擇1門科目，有2×2×2=8(種)方法；當(dāng)學(xué)生同時選物理、化學(xué)時，還需要選擇歷史、地理中的1 門科目，有2 種選擇；當(dāng)學(xué)生同時選擇歷史、地理時，需要從物理、化學(xué)中再選擇1 門科目，也有2 種方法。根據(jù)分類計數(shù)原理知，滿足題意的選考方式共有15+8+2+2=27(種)。

排列組合問題往往以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理。應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類還是分步。在處理具體的應(yīng)用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么。選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏。分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟時恰好完成任務(wù)，步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。

事實(shí)上，平時遇到的問題大多都是混合問題，這個時候一般是先分類再分步。在分析和解題問題的過程中可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或者樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律。常言道：“世上無難事，只怕有心人!”相信在勇攀高峰的道路上，只要一步一個腳印，定能披荊斬棘，成功到達(dá)終點(diǎn)。