鑒古知今，追本溯源
———探索簡易邏輯母源題

■江蘇省宿豫中學 孫 艷

正確的思想一定是來自于正確的邏輯，能夠清晰高效地思考，能與人順暢地溝通，邏輯學的功勞不可磨滅。邏輯之藝術非天外來客，它是人們生活中行動與思考的核心所在。數學就是邏輯的代名詞，而中學時代的簡易邏輯是邏輯最初的模樣。在高考的舞臺上，簡易邏輯也有一席之地，雖然考試難度并不大，但是給予一定的關注是非常有必要的。

簡易邏輯的高考命題每年都有新變化，但若認真研究就會發現還是有規律可循。正所謂萬變不離其宗，可以說高考考題都是可以找見它的母源題的。若是掌握這些母源題，無論高考考題如何變化，都可以以不變應萬變，在高考中創造出輝煌的成績。

【母源題一】(人教A 版選修1-1第11頁例3)下列各題中，哪些p 是q 的充要條件?

(1)p：b=0；q：函數f(x)=ax2+bx+c是偶函數。

(2)p：x＞0，y＞0；q：xy＞0。

(3)p：a＞b；q：a+c＞b+c。

【創新應用1】已知命題p：“關于x 的方程x2-4x+a=0有實根”，若?p 為真命題的充分不必要條件為a＞3m+1，則實數m的取值范圍是( )。

A.(1，+∞) B.[1，+∞)

C.(-∞，1) D.(-∞，1]

解析：對于命題p：方程x2-4x+a=0有實根，得Δ=16-4a≥0，則a≤4，所以?p成立時a＞4。又a＞3m+1是?p 為真命題的充分不必要條件，所以3m+1＞4，m ＞1，即實數m 的取值范圍是(1，+∞)。

【創新應用2】設命題p：(4x-3)2≤1；命題q：x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0。若?p是?q 的必要不充分條件，則實數a 的取值范圍是____。

解析：設A={x|(4x-3)2≤1}，B=?p 是?q 的必要不充分條件，可知p 是q的充分不必要條件，則A 是B 的真子集，所以即故實數a 的取值范圍是

評注：該類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現，難度較小，往往與命題(特別是含有邏輯聯結詞的復合命題)真假的判斷、充分條件與必要條件的判斷，以及全稱命題、特稱命題等聯系緊密。

充分、必要條件的三種判斷方法：

(1)定義法。直接判斷“若p，則q”、“若q，則p”的真假。例如“p?q”為真，則p 是q的充分條件。

(2)等價法。利用p?q 與?q??p，q?p 與?p??q，p?q 與?q??p 的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法。

(3)集合法。若A ?B，則A 是B 的充分條件或B 是A 的必要條件；若B?A，則A是B 的必要條件；若A=B，則A 是B 的充要條件；若A 是B 的真子集，則A 是B 的充分不必要條件；若B 是A 的真子集，則A 是B 的必要不充分條件。

【母源題二】(人教A 版選修1-1第23頁例2(節選))判斷下列特稱命題的真假：

解析：因為命題“?x0∈R，-2x+m≤0”是假命題，所以?x∈R，x2-2x+m＞0為真命題，根據一元二次不等式解的討論，可知Δ=4-4m ＜0，解得m ＞1，故答案為(1，+∞)。

評注：解決與簡易邏輯問題有關的參數問題，需要明確邏輯聯接詞的含義，以及全稱量詞、特稱量詞包含的數學理論。

【母源題三】(人教A 版選修1-1第17頁例4)寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：

(1)p：y=sin x 是周期函數；

(2)p：3＜2；

(3)p：空集是集合A 的子集。

【創新應用4】(2019 年高考全國Ⅲ卷文11題)記不等式組表示的平面區域為D。命題p：?(x，y)∈D，2x+y≥9；命題q：?(x，y)∈D，2x+y≤12。下面給出了四個命題：①p∨q；②?p∨q；③p∧?q；④?p∧?q。在這四個命題中，所有真命題的編號是( )。

A.①③ B.①②

C.②③ D.③④

解析：根據題中的不等式組，可作出可行域，如圖1 中陰影部分所示。記直線l1：y=-2x+9，l2：y=-2x+12，由圖可知，?(x，y)∈D，2x+y≥9，?(x，y)∈D，2x+y＞12，所以p 為真命題，q 為 假 命 題，則?p 為假命題，?q 為真命題，從而p∨q 為真命題，?p∨q為假命題，p∧?q 為真命題，?p∧?q 為假命題，則所有真命題的編號是①③。故選A。

圖1

評注：本題將線性規劃、不等式與命題判斷綜合到一起，解題關鍵在于充分利用數形結合法進行判斷命題真假。進而通過命題p、命題q 的真假，確定命題p∨q，p∧q，?p的真假。命題p∨q，p∧q，?p 的真假判斷如表1：

表1

【母源題四】(人教A 版選修1-1第7頁探究(節選))以“若x2-3x+2=0，則x=2”為原命題，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并判斷這些命題的真假。

【創新應用5】命題：“已知實數a，b，若|a|+|b|=0，則a=b。”則該命題的否命題是____，命題的否定是____。

解析：根據否命題與命題的否定的意義可知，否命題為：“已知實數a，b，若|a|+|b|≠0，則a≠b”；命題的否定為：“已知實數a，b，若|a|+|b|=0，則a≠b”。

評注：命題的否定和否命題是兩個容易混淆的概念，前者只否定結論，后者的條件和結論都要進行否定。特別地，在否定條件或結論時，應把“且”改成“或”、“或”改成“且”。

有關簡易邏輯的母源題就探尋到這里，文雖至此，但是研究的腳步不會停止。因為有這么一種現象總是讓人非常揪心，在高中學生中常看到一些平時非常用功，但是學習成績不太好的學生。若用心研究這類學生，不難發現他們具有相同的特點，就是大多數都不知道自己的薄弱點，雖然有大量的練習，然而并沒有針對自己的薄弱之處練習，大量的精力花在不需要的地方。這就如同老師在網絡上下載了大量電子版本的資料，卻因為精品不多，導致題目是越來越多，反而成為一種負擔，這樣既苦了自己，也苦了學生。

為了化解上述難題，對學生而言，需要明確目標，進行有針對性的練習，才能提高復習質量。這就需要有人幫助學生找到他們知識體系中的不足，引導他們將精力投入到學習薄弱的環節，所以探索出數學“母源題”，并利用“母源題”搞好數學復習工作。這樣可以避免無的放矢、機械訓練、重復操練，從而跳出“題海”。