《概率統(tǒng)計(jì)》易錯(cuò)題歸類(lèi)剖析

■甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 盧會(huì)玉

縱觀整個(gè)高中數(shù)學(xué)，概率統(tǒng)計(jì)在內(nèi)容方面的變化雖然不大，但是概率統(tǒng)計(jì)的地位卻提高了不少。要想在高考中得心應(yīng)手地解決概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，不僅要通過(guò)系統(tǒng)認(rèn)真的學(xué)習(xí)，還應(yīng)注意對(duì)易錯(cuò)、易混問(wèn)題進(jìn)行辨析，確保此類(lèi)問(wèn)題不會(huì)出錯(cuò)，杜絕失分現(xiàn)象。所以找準(zhǔn)高考易失分點(diǎn)，對(duì)易錯(cuò)、易混的高考熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練就顯得尤為重要。

易錯(cuò)題型1：抽樣方法概念理解不清致誤

例1某校高三年級(jí)有男生400人，女生300人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取20人，從女生中任意抽取15人進(jìn)行調(diào)查。這種抽樣方法是____。

錯(cuò)解：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法。

失分原因與防范措施：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征是從總體中逐個(gè)抽取；系統(tǒng)抽樣法常常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)；分層抽樣常常用于總體由差異明顯的幾部分組成，主要特征是分層并按比例抽樣。分層抽樣是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)，因?yàn)樵趯?shí)際生活中有差異的抽樣比其他兩類(lèi)抽樣應(yīng)用空間大，應(yīng)引起考生的重視。

正解：顯然總體差異明顯，并且按比例抽樣，所以是分層抽樣。

易錯(cuò)題型2：對(duì)樣本容量概念不清致誤

例2 某工廠生產(chǎn)A，B，C，D 四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶5∶1，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A 型號(hào)有16件，那么此樣本容量n 的值是____。

錯(cuò)解：樣本容量

失分原因與防范措施：樣本容量為整體，A 型號(hào)產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為部分，混淆了整體與部分的關(guān)系。在分層抽樣中，要注意樣本容量，各層所抽樣本數(shù)，特別是各層的抽取比例，搞清各層與總體的比例關(guān)系。

正解：在分層抽樣中，每一層所抽的個(gè)體數(shù)的比例與總體中各層個(gè)體數(shù)的比例是一致的，所以樣本容量為88。

易錯(cuò)題型3：基本事件把握不準(zhǔn)致誤

例3擲兩枚骰子，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于3的概率。

錯(cuò)解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為

失分原因與防范措施：對(duì)于公式P(A)和m 分別表示基本事件總數(shù)和事件A 包含的基本事件數(shù))，所述的試驗(yàn)結(jié)果是等可能出現(xiàn)時(shí)才成立。但是上述解法中找到的基本事件卻不是等可能出現(xiàn)的，例如，取數(shù)值2和3不是等可能出現(xiàn)的，2 只有(1，1)這樣的情況，而3有兩種情況(1，2)，(2，1)。防范此類(lèi)問(wèn)題出錯(cuò)的根本方法是充分理解古典概型的定義，驗(yàn)證基本事件的有限性及等可能性。

正解：擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況：(1，1)，(1，2)，…，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，…，(6，6)，基本事件總數(shù)為6×6=36。在這些結(jié)果中，只有兩種可能的結(jié)果(1，2)，(2，1)，所以

易錯(cuò)題型4：分不清事件的構(gòu)成致誤

例4已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物。血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒(méi)患病。下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止。方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)。若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2 只中任取1只化驗(yàn)。求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率。

錯(cuò)解：設(shè)方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)為η，則η的所有可能值為1，2，3，4，5。根據(jù)方案甲，患有疾病的1只動(dòng)物在每一次化驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的概率是等可能的，由前面分析可知，其概率分布表為表1：

表1

失分原因與防范措施：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止。最多化驗(yàn)次數(shù)為4 次。本題易錯(cuò)的地方是沒(méi)有考慮這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于甲方案，患有疾病的1只動(dòng)物在每一次化驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的概率是等可能的，考生易誤認(rèn)為化驗(yàn)次數(shù)的可能取值是1，2，3，4，5。事實(shí)上，若前4次化驗(yàn)為陰性，第5次不需再化驗(yàn)即可知最后一只是患病動(dòng)物，所以化驗(yàn)次數(shù)只能取1，2，3，4；類(lèi)似地，對(duì)于乙方案，第一次化驗(yàn)呈陽(yáng)性，再化驗(yàn)3只中的前2 只呈陰性后也不需再化驗(yàn)，或第一次化驗(yàn)呈陰性，再化驗(yàn)另外2只中的第1只呈陰性或陽(yáng)性后也不需再化驗(yàn)，即ξ 只能取1，2，3。

在求隨機(jī)變量的概率分布之前，要弄清楚隨機(jī)變量可能取到的每一個(gè)值及取每一個(gè)值時(shí)所表示的意義，然后再利用所學(xué)的概率知識(shí)求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率，從而求出概率分布。在寫(xiě)出概率分布后，還要檢驗(yàn)所有的概率之和是否為1。

正解：設(shè)ξ1、ξ2分別表示依方案甲和方案乙需化驗(yàn)的次數(shù)，P 表示對(duì)應(yīng)的概率，則方案甲中ξ1的概率分布表為表2：

表2

方案乙中ξ2的概率分布表為表3：

表3

若甲化驗(yàn)次數(shù)不少于乙化驗(yàn)次數(shù)，則P=P(ξ1=1)×P(ξ2=1)+P(ξ1=2)×[P(ξ2=1)+P(ξ2=2)]+ P (ξ1=3)×[P(ξ2=1)+P(ξ2=2)+ P (ξ2=3)]+P(ξ1=4)=

易錯(cuò)題型5：“放回抽樣”與“不放回抽樣”的區(qū)別

例5一口袋內(nèi)有7 個(gè)白球和3 個(gè)黑球，分別求下列事件的概率：

(1)事件A：從袋中摸出1 個(gè)黑球，放回后再摸出1個(gè)是白球；

(2)事件B：從袋中摸出2 個(gè)球，1 個(gè)黑球，1個(gè)白球。

錯(cuò)解：(1)P(A)=

失分原因與防范措施：對(duì)“放回抽樣”與“不放回抽樣”沒(méi)有理解透徹導(dǎo)致錯(cuò)誤。要注意放回抽樣時(shí)，總體個(gè)數(shù)不發(fā)生改變；不放回抽樣時(shí)，總體個(gè)數(shù)減少。放回抽樣各次抽取是相互獨(dú)立的；而不放回抽樣各次抽取不是相互獨(dú)立的。

正解：(1)因?yàn)橄让谇蛟倜浊颍瑒t

(2)事件B 說(shuō)明摸出2 個(gè)球不放回，且不考慮次序，因此基本事件總數(shù)是事件B 包含的基本事件個(gè)數(shù)是

學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的試題難度感覺(jué)不一，有的人感覺(jué)非常難，而有的人并不覺(jué)得難。不論感覺(jué)如何，平時(shí)都應(yīng)該多接觸一些題目類(lèi)型，將易錯(cuò)、易混問(wèn)題整理學(xué)習(xí)，這樣才會(huì)有很好的收效。考試有技巧，學(xué)習(xí)無(wú)捷徑。平時(shí)的學(xué)習(xí)要注重知識(shí)點(diǎn)的掌握，踏踏實(shí)實(shí)，這才是方法中的方法。書(shū)山有路勤為徑，勤奮一定是通向成功的大道!