新課改下培養學生數學創造性思維品質的探索

付星繞

(哈爾濱師范大學數科院16級 黑龍江哈爾濱 150000)

發展學生的探索和創新思維在培養人才方面有非常重要的作用。筆者結合自己的研究與實踐，結合素質教育的理論和新課改要求，從以下三方面淺析如何培養和發展學生的創造性思維。

一、注重培養學生的發散性思維

發散性思維的發散功能決定了它在醞釀構思中具有變通、流通和獨特的品質。為了能更好地培養學生的發散性思維，我從以下兩個方面入手。

(一)創造寬松的環境，充分開發學生的稟賦和潛能

環境在一個人的成長中起著舉足輕重的作用。教師應是一條源源不斷的小溪，要不斷培養自己的具備時代特色的能力；教師要充分發揮學生的主體功能，教學方法要靈活多變，生動活潑，充滿民主和藹的氣氛，特別要注意捕捉學生思維的“火花”。[1]

例1：求函數y=2x/(1+x2)的值域。

看到題目很多學生都直接運用“判別式”法求解。但平時注重思維的同學根據題目特點，會想到用萬能公式求解，令x=tanθ/2，易得y=sinθ，立得y∈[-1，1]。教師應該及時表揚該生的積極發言，使課堂氣氛頓時輕松活躍。然后，教師寫出以下題目讓學生思考：(1)求y=(1-tan22x)/(1+tan22x)的最小正周期。(2)求y=(ex—1)/(ex+1)的值域。(3)已知a2+b2=1求a+2b的取值范圍。在這種歡快民主的氣氛之下，同學們很容易作出正確的解答。講完題目，教師跟學生一起進行小結，并把這種方法叫做“原型啟發”。以此，希望學生能積極思維，尋找知識間的聯接點。[2]

(二)一題多解，充分發展學生的發散思維品質

學習數學，關鍵是學會如何思考，如何挖掘題目的已知與未知之間的聯系點。同一題目，有不同方向的解決方法，不同的思維開展，有利于學生的思維向多元化發展。教師在講解例題時，不要照本宣科，應該引導學生去思考不同于課本的解法。這樣，不僅能充分調動學生學習的積極性，還激發了學生的求知欲。[3]

例2：求證：tan(x+π/4)+tan(x+π/4)=2tan2x

教學時，教師先不要點講，讓學生發揮主體作用，以免造成學生的思維定勢，教師的任務是適時給予幫助，發揮主導作用。

分析1：有的學生想到“原型啟發”，即用公式tana+tanβ=tan(a+β)(1-tanatanβ)很易解決(解略)。

分析2：有的學生想到“化弦法”，將左右兩邊都化為正余弦，即可解決(解略)。

分析3：有的學生將左邊兩項看成(2x+π/2)/2，(2x—π/2)/2的正切，故利用不帶根號的半角正切公式化為正余弦，即可推出右邊(解略)。

通過本例的學習，不但復習到很多知識，活躍了氣氛，關鍵是培養了同學們的創造性思維。

二、突破學生固有的思維定勢

定勢思維，對自己熟知的問題能很好解決，但對陌生開拓創新問題，則成為“思維枷鎖”。創新思維的特征是突破原有的“狹隘”的定勢，開拓與發展已有的定勢。學生長期形成的思維定勢有多種，影響較為普遍的主要有四種：

1.教育權威定勢是由于學生對教師的過分依賴，學生認為教師所講的都是正確的，不按教師的去做就是錯誤的。因此，思維只跟著教師的思維走，自己從來不想為什么？例如，在小學應用題中：路程=速度×時間，有的教師強調，“速度”寫在前，“時間”寫在后，否則就是錯的。這會使學生好象馴獸一樣，按照教師要求的一點一滴的做，影響了學生創造性思維的發展。那么，如何突破這種思維定勢呢？筆者認為，課堂上，教師要積極詢問學生問題的解法，多引導學生自己去思考，去嘗試自己去解決問題。課下，可以建立討論組，就某些問題，小組之間討論解決，慢慢放開對學生的“思維管束”。在用詞方面，盡量少用用“必須”“只能”這些限制性詞匯，要多用“一般”“我們多用于”“常用”這些詞語。這樣，一步步“突破”固有的教育權威思維。[4]

2.唯書本定勢的形成，是因為學生所獲的知識主要來自于教材，很少來自于實踐及用于實踐，這是長期單一的獲得知識途徑形成的。因此，解決什么問題都從課本單一的思考方法進行，沒有靈活性。例如，在學習完人教版2-1P60例6：過雙曲線x2/3-y2/6=1的右焦點，且傾斜角為30度的直線，交雙曲線于A，B兩點，求線段AB長度。教師可以立即出一道題：求直線y=2x+1與圓x2+y2=4所截得的線段長。很多同學受到例題的解法影響，都青一色用求交點的方法求。此時，為了弱化思維定勢，教師先提示所截得的是弦，弦如何求？很多同學馬上想到垂徑定理，立即找到簡捷的解法。然后，教師又可以從用兩點間距離公式的求法過程中，讓學生觀察距離與坐標的關系，很多同學立即想到根與系數關系求解。這樣，一次一次的思維訓練，逐漸發展了學生的創造性思維。[5]

3.從眾定勢是盲目的跟從眾人的想法，沒有自己的見解。例如，烏鴉利用石子喝到水的故事，烏鴉最后到底喝沒喝到水呢？其實，如果故事從數學的角度來看，烏鴉只是喝到水的幾率變大而已。如果石子之間間隙較大，而水又較少，那么，即使用石子將瓶子填滿，也是無法喝到水的。產生我們認為烏鴉喝到水這錯誤的原因，是一直以來烏鴉總是能喝到水的這種定勢思維的影響。

4.唯經驗定勢是學生在做題過程中，僅憑著自己的經驗解題，不去大膽思考造成的，即使錯了也不知道。例如，已知橢圓x2+4y2=4和圓(x-1)2+y2=R2有交點，求R的范圍。有的學生根據以往經驗，將兩方程聯立，消失y，得3x2-8x-4R2+8=0，利用△=82-4×3-(-4R2+8)≥0，得R≥√6/3。錯誤的原因是單憑以往方程有實根，即得△≥0這一條件的經驗，忽略△≥0是兩圓錐曲線相交的必要條件，而非充分條件。

另外，教師還要注重培養學生的批判精神，鼓勵學生大膽質疑，突破思維定勢。在課堂上，為培養學生的創新精神，教師應經常鼓勵學生對待問題要充滿質疑性，不要相信教師或者參考書的解法就一定是最完美的，例如，在△ABC中，求證tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。顯然，在直角三角形中是不對的。又如，已知a、b、c成等比數列，求證：a+b，b+c，c+d成等比數列。易舉反例：a=2，b=-2，c=2，d=-2時，結論顯然不真。指出這些的目的是讓學生大膽質疑，放開自己的思維翅膀。

三、注意學生形象思維的培養

形象思維在解題過程中具有直接性、迅速性、跳躍性的優點。因此，我們要注意培養學生的形象思維，培養數形結合思想。中學的距離公式、函數圖象、三角函數線等知識，為我們采用數形結合提供很好的素材。

例1：對x∈R，試確定√(x2+x+1)-√(x2-x+1)的所有可能的值。

分析：由題目結構可知，√(x2+x+1)，√(x2-x+1)均為兩點距離結構模式，故萌發了將之轉化為距離問題的想法。

解：√(x2+x+1)-√(x2-x+1)=√[(x+1/2)2+(0-√3/2)2]-√[(x-1/2)2+(0-√3/2)2]，這表明，在x軸上的動點P(x，0)到兩定A(-1/2，√3/2)，B(1/2，√3/2)距離之差，且由坐標系可知，△PAB始終可構成。

∴||PA|-|PB||＜|AB|＝1故-1＜√(x2+x+1)-√(x2-x+1)＜1，由此可見，采用數形結合非常重要。

例2：已知α、β，再由不等式α＜2＜β，去解之很費時、費勁。但若能結合二次函數圖象，令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m，立知滿足已知條件的充要條件為f(2)＜0，得m＜-3。這樣解題簡捷很多。

在平時學習與實踐中表明，從發散性、形象性、突破性這三方面培養學生的創造性思維，收效顯著。學生已不再滿足課堂上教師的解法，而是大膽思維，不斷創新，主動追求題目的一題多解。也不再滿足于參考書或教師給出的現成的標準答案。遇到問題，學生都能多問幾個為什么，弄清問題的來朧去脈。這樣，他們的學習熱情比以前高漲很多，解題的速度也顯著提高。