基于SARIMA 模型的舟山制造業PMI預測能力分析

□劉嘉誠

采購經理指數（Purchasing Managers' Index，簡稱PMI）是通過對企業采購經理的月度調查匯總出來的指數，因其具有及時性、先導性、綜合性和指導性等特點，使得該指數在經濟預測和商業分析等方面都有著重要的意義。PMI 具有較強的實際應用性，本文以舟山制造業月度PMI 數據為基礎，通過建立SARIMA 模型對舟山制造業PMI 的預測能力進行評價。

數據來源及預處理

本文選取2015 年3 月至2019年4 月舟山制造業月度PMI 共50 組數據，其中使用2015 年3 月至2018年10 月的44 組數據進行建模，用2018 年11 月 至2019 年4 月 的6 組數據進行模型檢驗。此外，為了減少異方差的影響，對這組序列進行自然對數轉換，其中pmi 表示舟山制造業月度PMI 序列，lpmi 表示進行對數轉換后的序列，dlpmi 表示進行一階逐期差分平衡后的序列，sdlpmi 表示進行一階逐期差分和季節差分之后的序列。

模型的建立

SARIMA 模型的建立主要包括四個步驟：平衡性檢驗、模型的定階與識別、模型的參數估計、模型的診斷與檢驗。

（一）平衡性檢驗。

在對一個時間序列進行建模前，首先應當考察該序列的平穩性。如果序列是不平穩的，則需要對序列進行差分，使得差分后的序列成為平穩時間序列。本文對序列的平穩性檢驗采用最為常用的ADF 單位根檢驗方法。

從圖1 單位根檢驗結果可以看到，原始序列lpmi 是非平穩序列，在進行一階逐期差分處理后的序列dlpmi 是平穩序列，因此dlpmi是一階單整序列，可以得到d=1。進行一階逐期差分和季節差分處理后的序列sdlpmi 是平穩序列。同時該序列已消除了原時間序列lpmi的季節性，因此D=1。從dlpmi 的自相關和偏相關圖分析，序列在k=12時顯著不為零，可以得出序列存在以12 個月為周期的季節波動，經過上述檢驗和處理，原始序列lpmi 滿足建模要求，可以以序列sdlpmi 為基礎建立SARIMA 模型。

圖1 ADF 單位根檢驗結果

（二）模型的定階與識別。

由于上文確定原始序列lpmi的非季節差分階數d=1；季節差分階數D=1，故考慮建立SARIMA(p，d，q) (P，D，Q)12 模型進行分析與預測，接下來確定p、q、P、Q 的取值。

圖2 sdlpmi 序列的自相關和偏相關圖

觀察分析序列sdlpmi 的相關圖和偏相關圖（如圖2），如果把自相關函數看作截尾特征（K＞13 后截尾），把偏自相關函數看作是拖尾特征，應該有一個乘積季節移動平均模型，推出q、Q 可以等于1，考慮建立(0，1，1)(0，1，1)12。如果把自相關函數看作拖尾特征，把偏自相關函數看作截尾特征（K＞13 后截尾），應該加入一個乘積月度自回歸模型，推出p、P 可以等于1，考慮建立(1，1，0)(1，1，0)12。

通過觀察序列的自相關和偏相關圖，結合上述的判斷，對可能性最大的六個模型進行比較測試評價，分別是(1，1，1)(1，1，1)12、(1，1，0)(1，1，1)12、(1，1，0)(1，1，0)12、(1，1，1)(1，1，0)12、(1，1，1)(0，1，1)12、(0，1，1)(0，1，1)12。

接下來依次對六個模型進行單位根檢驗，如果模型的單位根有個等于1，說明模型是不可逆的，過程是不平穩的。通過對六個模型單位根的判斷可以得出，除(1，1，0)(1，1，1)12和(1，1，0)(1，1，0)12兩個模型之外，其他四個模型中的單位根均存在等于1 的根。

接下來對這兩個模型進一步評價。在選擇模型時，一般根據AIC 值和SC 值最小的準則作出選擇。(1，1，0)(1，1，1)12模 型：AIC=-3.21267，SC=-3. 027639；(1，1，0)(1，1，0)12模型：AIC=-3.238941，SC=-3.100168。因此，選擇模型(1，1，0)(1，1，0)12較為合適，結果更理想。

（三）模型的參數估計。

建立模型(1，1，0)(1，1，0)12，用2015 年3 月至2018 年10 月的月度數據對模型進行參數估計，得到結果如下：

其中，R2=0.52，DW=2.13，Q(16)=9.68，χ20.05(15)=24.99

（四）模型的檢驗。

圖3 殘差序列的自相關和偏相關圖

對模型估計結果進行檢驗，包括模型特征根值的檢驗、參數估計的t 檢驗和殘差序列的Q 檢驗。

首先是特征根值的檢驗，該模型的特征根值都在單位圓之外，說明模型滿足檢驗要求。其次參數估計的t 檢驗，殘差序列的自相關系數均落入隨機區間內，且P 值均較為顯著，說明殘差序列不再有自相關成分，且模型參數具有顯著性，通過t 檢驗。最后是殘差序列的Q 檢驗，以Q(16)為例，Q(16)=9.68＜χ20.05（15）=24.99，模型的誤差項通過Q 檢驗。綜上分析，可以確定最終建立的模型為(1，1，0)(1，1，0)12模型。

模型的預測能力評價

根據建立的模型，首先對樣本內2017 年5 月-2018 年10 月 共18 個月的PMI 進行靜態預測，通過實際值與預測值的比較來判斷模型的預測精度，然后繼續利用模型對樣本 外2018 年11 月-2019 年4 月 共6個月的PMI 進行動態預測。

從衡量指標看，模型的擬合結果是較好的。首先分析評估靜態預測結果，均方根誤差(RMSE) 為2.1858、平均絕對誤差(MAE) 為1.8026，兩個數值均較小；平均相對百分比誤差(MAPE)為3.77%，泰勒不等系數(TIC)為0.0227，其中泰勒不等系數(TIC)越小，擬合度越好；總體而言這些衡量指標說明該模型具有較好的擬合效果。

從實際值與預測值的誤差率來看，預測效果是不理想的。首先看靜態預測結果，如表1 所示，相對誤差平均值為3.78%，誤差率最高為9.09%，最低為0.2%。18 組靜態預測結果中，只有兩組的相對誤差在1%以下，說明預測數據的相對誤差率是較高的。再看動態預測結果，6 組動態預測結果中，只有1組的相對誤差率在1% 以下，如2019 年2 月的相對誤差率竟然達到13.59%。綜上，從實際預測結果看，該模型的預測誤差率較高，預測值與實際值存在較大差距，模型的預測結果是不理想的。

圖4 靜態預測結果

圖5 動態預測結果

模型預測存在的缺陷及建議

（一）逐步擴充基礎歷史數據序列。如前文所述，盡管SARIMA方法可以為任何周期的經濟時間序列建模，但需要足夠多的基礎數據（序列觀測值）作為支撐。建立SARIMA 模型，對于季度序列最好在100 個以上，對于月度序列則應該更多。而本文基于月度序列建立的模型，其序列觀測值個數只有44 個，在進行一階逐期差分和季節差分之后，觀測值更少。另一方面，月度PMI 基本在50 上下波動，月度波動的幅度非常非常小，有時只有0.1%或0.2%左右，這就需要模型具有非常好的擬合性和非常低的誤差率。而分析本文中所建立的模型，盡管從幾個衡量指標看具有擬合效果和一定的預測的作用，但是就實際誤差率而言，預測效果是不理想的，是無法解釋當前的時間序列。為此要逐步擴充基礎歷史數據（序列觀測值），通過觀測值來進一步識別合適的P、Q 等參數，建立較理想的SARIMA 模型，進一步提升數據支撐力度，增強模型的擬合效果。

（二）持續探索合適NBS 季調參數。除數據序列預測值不夠多這個明顯缺陷之外，月度PMI 數據匹配性協調性較差，也是導致模型預測效果不理想的原因。就季節調整本身而言，一方面，時間序列越長季節調整的效果越好，通常不能少于10 年，最好是一個經濟周期的時間。舟山制度業PMI 調查從2012 年開始，月度PMI 的正式試算從2015 年開始，顯然還沒有經歷一個完整周期，所以季節調整本身就不是很完善，存在很多缺陷。另一方面，目前月度PMI 數據都是通過NBS 數據處理軟件，經過季節調整推算而來，NBS 季調軟件中參數的設定，包括arima 模型、工作日效應、交易日效應以及節假日參數的設定等等，都會導致最后季調結果的不同。因此建議要不斷研究NBS軟件的運行原理，探索符合舟山實際經濟發展狀況的各項參數，確保季調后的PMI 數據不失真，更有匹配性、協調性。

結論

一方面，以舟山制造業月度PMI 數據為序列是可以建立合適的SARIMA 模型，而且建立的模型也具有一定的擬合效果和預測能力，同時也說明建立相應的模型對PMI自身進行短期或長期的預測具有較強的可行性。另一方面，受限于數據序列觀測值很少，數據匹配性協調性較低等自身的缺陷，再加上PMI 序列具有很低的波動性等高要求，本文中模型的預測誤差率還是偏高的，預測值與實際值存在較大幅度的差距，無論是靜態預測還是動態預測，其預測結果是不理想的，預測能力也是有限的。綜上所述，基于SARIMA 模型的舟山制造業PMI 預測能力目前來看是較低的，但是從長期來看具有較大的上升提高空間。如果能逐步擴充基數數據序列并不斷提高數據匹配性協調性，SARIMA 模型的預測能力也會得到進一步的提高，預測效果得到進一步的增強。