高師概率論教學中化歸思想滲透探究

李榮玲

（滇西科技師范學院數理學院 云南·臨滄 677099）

0 前言

義務教育數學課程總目標強調“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，其中的基本思想就是數學思想。為了讓高校培養的師范生更快地適應未來的中小學數學教育教學工作，在教師專業化成長的第一個階段——師范教育階段的相應課程教學中，教師要重視進一步滲透相關數學思想。而作為高師小教理本專業課程設置中一門以自然界中的隨機現象為研究對象的課程，概率論與人們的現實生活密切相關，教學過程當然離不開問題解決。前蘇聯著名數學家C.A.雅諾夫斯卡婭說過“解題就是把問題歸結為已經解過的問題”。這里的歸結就是化歸，所以，解決任何一個問題的過程都是一個化歸的過程?；瘹w思想是本課程最根本的數學思想。概率論的核心思想—隨機思想是從個別到一般的轉化。概率論的基本思想—集合與映射思想、數形結合思想、公理化思想、分類思想、函數與方程思想和數學建模思想等。其中集合與映射思想、分類思想體現的是局部與整體的互化；數形結合思想思想是數與形之間的互化；函數與方程思想是函數、方程與不等式之間的互化；公理化思想、數學建模思想是從特殊到一般，從具體到抽象的轉化，因此，化歸思想統攬著本課程其他數學思想方法。毛澤東同志論述方法論時有一段名言：“我們的任務是過河，但是沒有橋或沒有船就不能過。不解決橋或船的問題，過河就是一句空話?！笨梢赃@樣說，數學思想就是教師教授概率論的“橋”和“船”。倘若高師教育不重視發展學生的化歸意識，未來的數學教師自己很缺乏對化歸思想的認知，當他們去執教時又教出對化歸思想無知無畏的下一代，這于基礎教育改革是非常不利的?；诖?，高師概率論教學不應該只局限于傳授基礎知識和基本技能，而更應該重視數學思想的教學，特別是化歸思想的滲透。讓化歸思想的滲透貫穿于概率論教學的全部過程，使我們培養的未來教師有豐富的化歸意識能適應基礎教育的改革與發展。

1 化歸思想概述

化歸就是轉化和歸結，客觀事物是不斷發展變化的，事物之間的相互聯系和轉化是現實世界的普遍規律。數學中充滿了矛盾，如：已知與未知、復雜與簡單、熟悉與陌生、困難和容易等。實現這些矛盾的轉化、化未知為已知，化復雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易就是化歸思想實質。[1]在對問題作仔細觀察的基礎上，展開豐富的聯想，以求喚起對有關舊知識的回憶，開啟思維的大門，順利地借助舊知識、舊經驗來處理面臨的新問題，這種數學思想就是化歸思想。[2]它的基本思路是：人們在解決數學問題時，常常是將待解決的問題，通過某種轉化手段，歸結為另一個問題，而問題是相對較易解決或已有固定解決程序的問題，且通過對問題的解決可以得到原問題的解答。

2 高師概率論教學中滲透化歸思想的幾點策略

2.1 在概率論教材中充分挖掘蘊含的化歸思想，化隱為顯

概率論的知識可分為表層知識和深層知識，像概念、公式、定理、法則這些知識，看得見，摸得著，是外顯的，叫表層知識；像數學思想、數學意識看不見，摸不著，是隱含的，叫深層知識。表層知識在明處，教學中較容易把握，深層知識在暗處，教學中把握起來較困難。[3]這就需要任課教師全面熟悉和掌控本課程知識結構，感知課程知識的整體內容、內在聯系，充分挖掘蘊含在表層知識中的數學思想方法，特別是統攬著本課程其他數學思想方法的化歸思想。比如，概率性質5：對于任意事件，都有是表層知識，但此性質中蘊含著的化歸思想，教師要把其充分挖掘出來，即當人們遇到的隨機事件越復雜時，他的對立面就越簡單，因此，當正面求解一個事件的概率很難或不能求得時，往往轉而關注其對立面，像又如，分布函數法中，反復涉及化歸思想，教師應該把其挖掘，化隱為顯。應用分布函數的概率意義，建立等式把未知的用概率值轉化出來，這是第一次化歸；根據關系式得到在不等式中求出，找到與的聯系式，即用已知的表示未知的這是第二次化歸；求導固定這是第三次化歸；根據的分布，確定出的解析表達式，這是第四次化歸。通過這樣層層挖掘，化歸思想逐漸明朗。

2.2 在表層知識的教學中逐步滲透化歸思想，發展學生的數學認知結構

教授表層知識時，因為其是外顯的，教師可以引導學生利用觀察、試驗、、猜測、直覺、歸納和類比等思維形式，順利地將舊知識、舊經驗與將要學習的新知識聯系起來，將新知識轉化為舊知識，順利滲透化歸思想。例如隨機事件概念教學時，教材里是這樣解釋隨機事件的：在隨機試驗中，我們把可能發生也可能不發生的一些結果堆放在一起構成一個整體，這個整體就稱為該隨機試驗的隨機事件。教師通過引導學生聯想發現：任何一個隨機事件都是由隨機試驗的一個或者多個不能再分解的結果所組成的，也就是說，隨機事件是將一些具有共同特征的研究對象堆積在一起構成的一個整體。因此隨機事件就是集合，把事件化歸成集合后，事件之間的關系、運算和運算律這些新知識全部化歸為集合之間的關系、運算和運算律這些舊知識。運用化歸思想對表層知識進行消化、整理、歸納，將零散的新知識納入原有的數學知識結構中去，最終發展師范生的數學認知結構

2.3 在典型例題的解答中反復運用化歸思想，深化師范生化歸意識

解答典型例題的過程，就是化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化新為舊的過程。這一過程就是反復運用化歸思想的過程，解題時，通過觀察、聯想、分析、類比題目的條件、已知信息、要達成的目的，聯想到與之有關的概念、定理、法則、公式、其他數學思想或之前會解的具有相同或相似已知量或未知量的問題，通過化歸，建立起已知信息和要達成的目的之間的聯系，從而找到解決典型題的思路或方法。例如，期望的性質后的典型例題：用表示擲1500個骰子時的點數和，求。根據題意，雖然是一個離散型隨機變量，但的分布非常復雜，難以得到。利用期望的原始計算公式計算行不通。實際上，如用表示擲第 個骰子時出現的點數，把進行分解，則轉化為的和。聯想到期望性質3，歸結為和的期望，而的概率分布已知，其期望易得，所以，化歸為已知的的和，問題完美解答。

2.4 在課外作業的求解中讓師范生內化化歸思想，提升數學能力

課外作業的求解關鍵在于尋找解法，此時，學生可以向自己提出一系列問題：見過這個問題嗎？見過類似的問題嗎？見過與之相關的問題嗎？通過不斷變更問題，尋找到解決問題的方法，而變更就是化歸，學生通過課外探索，不斷內化化歸思想，最終提升數學能力。例如，中心極限定理課題后的課外作業：（1）拉普拉斯的研究結果表明，自然狀態下婦女受孕后生男嬰的概率為51.2%，今年某市有6000名產婦，試求出生男嬰數超過3100人的概率。（2）一個復雜系統由100個相互獨立的零件組成，每一個零件的可靠性（即零件正常工作的概率）為0.9，為使整個系統可靠，至少須有85個零件正常工作，求整個系統的可靠性。（3）某心理學家研究6歲兒童的智商，他利用去估計智商的均值，若為使對的估計精度在±10之間的概率不低于0.95，問他至少要測試幾個兒童？這些實際問題的解決無疑都要利用化歸思想，通過課外作業不斷內化化歸思想，提升數學能力。

3 結語

在高師概率論課程教學中繼續滲透化歸思想，既是當前高等教育的任務，又符合基礎數學課程改革和社會發展的需求。形成數學能力固然離不開數學知識，但僅有數學知識是不可能形成數學能力的，知識僅僅是能力的基礎，具有轉化為能力的潛在性，有豐富的數學知識，未必有相應的能力，因而在數學知識與數學能力之間還應有數學思想方法的作用。本文結合筆者的教學經驗探討了概率論教學中滲透化歸思想的幾點策略。通過在概率論課程教學中不斷滲透化歸思想，發展學生的數學認知結構，提升學生數學能力，為未來教師專業和終身學習提供動力。