一題多解拓思維，數(shù)形結(jié)合來滲透

傅麗娜

【摘要】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中常常采用的一種教學(xué)方法，應(yīng)用這種方法可以提高學(xué)生對(duì)題目的理解深度，幫助學(xué)生在有限的線索中找到解題思路，所以教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.而且數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)離不開學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因此教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生在解題中針對(duì)一道數(shù)學(xué)題采取多種解題方法，以此來拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.本文主要對(duì)一道正方形幾何證明解法進(jìn)行探究，希望可以為教師教學(xué)提供幫助.

【關(guān)鍵詞】正方形;構(gòu)造法;數(shù)形結(jié)合

引言：學(xué)好數(shù)學(xué)離不開做題，但筆者并不贊成題海戰(zhàn)術(shù)，那么，如何在數(shù)學(xué)課上拓展學(xué)生思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力呢？一題多解是一種很好的教學(xué)方法，能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，從多種角度和方向思考問題，學(xué)生的思維變得更加流暢、創(chuàng)新、變通.而數(shù)形結(jié)合作為一種重要的解題方法，將復(fù)雜抽象的幾何知識(shí)與形象的圖形相結(jié)合，從不同角度去解答幾何證明問題，可以得到事半功倍的效果.

題目：如圖1，正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AE交∠DCE外角的平分線于點(diǎn)F，求證：AE=EF.

從題目中我們可以發(fā)現(xiàn)，此題的結(jié)構(gòu)較為規(guī)整，正方形ABCD條件的給出為證明提供了很大的便利，尤其是運(yùn)用構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的方法，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為y軸、BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系是一種很直觀的解題方法.如果想要采取其他的方法，那么必然要進(jìn)行添加輔助線的操作，由于所需證明的兩邊AE，EF在現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)中并沒有很直接的聯(lián)系，因此在實(shí)際的解題過程中，通過添加輔助線使兩條直線“遙相呼應(yīng)”，就可以很好的解決問題，從直觀上來看，本題EF在△ECF中，而AE在△ABE中，而通過輔助線的添加可以構(gòu)建兩個(gè)包含AE，EF的新三角形，證明三角形全等，從而實(shí)現(xiàn)AE=EF，下文就是對(duì)本題的詳細(xì)解答.

一、構(gòu)造鈍角三角形法

采用構(gòu)造鈍角三角形的方法對(duì)此問題進(jìn)行解答時(shí)，可以采取如下的兩種方式進(jìn)行三角形的構(gòu)造，在構(gòu)造時(shí)一定要注意構(gòu)造的三角形與AE，EF的關(guān)系，雖然是對(duì)鈍角三角形進(jìn)行構(gòu)造，但是本質(zhì)上來說，還是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想構(gòu)建兩個(gè)包含AE，EF的三角形，再通過三角形的性質(zhì)來對(duì)兩三角形進(jìn)行全等證明，通過證明兩個(gè)三角形全等的方式來對(duì)兩邊相等進(jìn)行證明.而需要注意的是對(duì)三角形的構(gòu)造并不是一成不變的，對(duì)鈍角三角形來說包含EF的△ECF是典型的鈍角三角形，而包含AE的鈍角三角形卻有很多，接下來的解法1和解法2會(huì)針對(duì)不同的三角形進(jìn)行證明.以添加輔助線的方式來進(jìn)行鈍角三角形的構(gòu)造，對(duì)此種解題方法來說，起到了拋磚引玉的作用，為證明三角形全等做了充分的準(zhǔn)備工作，多種解法的運(yùn)用對(duì)學(xué)生思維的發(fā)散有積極作用.

解法1：如圖2，取AB的中點(diǎn)H，連接EH.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以根據(jù)正方形的性質(zhì)：四條邊相等，四個(gè)角都是90°，可得到∠B=∠BCD=90°，AB=BC.

因?yàn)锳E⊥EF，所以∠BAE+∠AEB=90°，∠FEC+∠AEB=90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠BAE=∠FEC.

又因?yàn)辄c(diǎn)H、點(diǎn)E分別是AB，BC的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BH=BE，所以∠BHE=45°.

由CF是∠DCE外角的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到∠DCF=45°，根據(jù)等式的性質(zhì)得∠ECF=∠DCF+∠BCD=135°，從而∠AHE=∠ECF=135°.

而AH=CE，于是△AHE≌△ECF（ASA），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，可得AE=EF.

解法2：如圖3，連接AC，BD交于點(diǎn)O，再連接OE.

根據(jù)正方形對(duì)角線相等、垂直且互相平分可以得到△BOC，△AOB是等腰直角三角形.

因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，由三線合一得OE⊥BC且∠BOE=∠COE=45°，

所以O(shè)E=CE=BE，

∠AOE=∠AOB+∠BOE=90°+45°=135°.

由CF是∠BCD外角的平分線，可得∠DCF=45°，

所以∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.

所以∠AOE=∠ECF.

因?yàn)锳E⊥EF，根據(jù)垂線的定義得∠AEO+∠OEF=90°.

又因?yàn)椤螩EF+∠OEF=90°，根據(jù)同角的余角相等得∠AEO=∠CEF.

所以△AOE≌△FCE（ASA），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，可得AE=EF.

解法1中先運(yùn)用正方形的性質(zhì)得四條邊相等，然后利用余角相等的定理得出∠BAE=∠FEC，而后根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BH=BE，∠BHE=45°，最后由角平分線及全等三角形得出兩邊相等.解法2充分利用了正方形對(duì)角線相等、垂直且互相平分的性質(zhì)來得出等腰三角形，而后根據(jù)各個(gè)角之間的關(guān)系得出∠AOE=∠ECF=135°，然后根據(jù)余角定理得出∠AEO=∠CEF，最后再利用全等三角形的定義得出兩邊相等.兩種解法可以說有異曲同工之妙，都是先證明三角形全等，而后得出對(duì)應(yīng)邊相等的結(jié)論.

二、構(gòu)造直角三角形法

構(gòu)造直角三角形是常考考點(diǎn)，在本題中，通過構(gòu)造直角三角形的方式可以順利借助證明三角形全等的途徑進(jìn)行解題，從而提高學(xué)生的解題效率.對(duì)此，由于線段AE本身就處于直角三角形ABE中，所以只需要構(gòu)建一個(gè)包含線段EF的直角三角形，然后證明兩者全等即可.顯然過點(diǎn)F作BC的垂線段即可實(shí)現(xiàn)直角三角形的構(gòu)建，具體解法如下：

解法3：如圖4，過點(diǎn)F作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠B=∠BCD=90°，所以∠FHE=∠B=90°.

因?yàn)椤螧AE+∠AEB=∠FEH+∠AEB=90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠BAE=∠FEH.

從而△ABE～△EHF，所以BEAB=FHEH.因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以BE=CE.

因?yàn)镃F是∠BCD外角的平分線，所以∠DCF=∠FCH=45°，所以CH=FH.

設(shè)CH=FH=x，AB=BC=2a，則由BEAB=FHEH=a2a=xx+a，可解得x=a，即EC=CH=FH=BE，AB=EH.

所以△ABE≌△EHF，所以AE=EF.

解法3也采用了構(gòu)造法，在這里是構(gòu)造直角三角形，對(duì)學(xué)生來說，有兩個(gè)角缺邊的方法要用到相似來求得FH=CH=BE，教師在引導(dǎo)學(xué)生解題的時(shí)候要特別注意總結(jié)歸納證邊和角相等的方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)除了全等、等腰（直角）三角形、平行四邊形及特殊的平行四邊形可以得到邊和角相等之外，還要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化成相似三角形也可以得到角相等，從而突破盲點(diǎn)，順利解除障礙.

三、構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系法

在解決這道題目時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題能力，應(yīng)該借助平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算.為了符合平面直角坐標(biāo)系構(gòu)建的便利性原則，應(yīng)該使得所有圖形均位于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，從而有利于坐標(biāo)的計(jì)算.對(duì)此，應(yīng)該以整個(gè)圖形左下角的B點(diǎn)為原點(diǎn)，以線段BC所在直線為x軸，以線段BA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，通過設(shè)定單位長(zhǎng)度的方式，對(duì)于每點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行確定，借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)計(jì)算，分別寫出線段AE和線段EF的長(zhǎng)度表達(dá)式，從而進(jìn)行兩者相等的證明，具體解法如下：

解法4：如圖5，以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則BA在y軸上，BC在x軸上，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a（a>0），于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2a），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2a，2a），由點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，0）.

設(shè)直線AE的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），將點(diǎn)A、點(diǎn)E的坐標(biāo)分別代入得2a=b，0=ak+b，解得k=-2，b=2a，因?yàn)锳E⊥EF，所以kAE·kEF=-1，得kEF=12.

于是，設(shè)直線EF的函數(shù)解析式為y=12x+c，把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入可得c=-12a.

所以直線EF的函數(shù)解析式為y=12x-12a，

過F作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，

因?yàn)镃F是∠DCB外角的平分線，∠FCH=∠CFH=45°，所以CH=HF.

又因?yàn)辄c(diǎn)F在直線EF上，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2a+m，m）代入y=12x-12a，解得m=a，從而，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3a，a）.

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= AB2+BE2=5a，

同理可得：在Rt△EHF中，由勾股定理得EF= EH2+FH2=5a，

于是得到AE=EF.

解法4是本題解法中的一大亮點(diǎn)，通過使學(xué)生自主設(shè)立單位長(zhǎng)度，借助直線的函數(shù)解析式和勾股定理，寫出線段AE和EF的長(zhǎng)度表達(dá)式，從而證明兩者相等.這有助于使學(xué)生理解“數(shù)軸上的點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的”這一原理，從而有效提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題能力，也讓學(xué)生更深刻地明白“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”的道理.

結(jié) 語

在教學(xué)過程中，解題方法和解題思路對(duì)于學(xué)生來說是非常重要的，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該學(xué)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用最快捷的解題思路和方法去解決數(shù)學(xué)問題，但是在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中很多的數(shù)學(xué)問題解題思路是非常復(fù)雜的，很多學(xué)生經(jīng)常不能很好地使用所學(xué)習(xí)的知識(shí)和方法去解決問題，這樣就會(huì)影響到他們的解題速度和解題質(zhì)量.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師就可以使用數(shù)形結(jié)合的方法去簡(jiǎn)化復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想實(shí)質(zhì)上是將代數(shù)問題和幾何問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，它的應(yīng)用一方面能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得直觀，解題思路變得清晰，步驟變得明了.另一方面在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和求知欲望，開拓學(xué)生的思維，提高學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高，進(jìn)而達(dá)到“解一題、會(huì)一類、通一片”的效果.

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