基于層次分析—云模型的數學核心素養對學生綜合能力培養的效果研究

孟旭東

摘 要：文章選取學習分析能力、批判創造能力和實踐創新能力作為評價數學核心素養對學生綜合能力培養作用的核心評價指標，結合所在學校的綜合能力培養評估體系，構建基于層次分析法——云模型的數學核心素養對學生綜合能力培養的數學模型。借助專家經驗，對評價指標因素運用云模型描述，獲得各評價量化值，利用層次分析法確定評價指標間相對重要性程度，確定評價指標的權重，分析數學核心素養對學生綜合能力培養作用的效果。研究表明，大學生良好的數學核心素養對綜合能力培養起到有效推動作用。

關鍵詞：層次分析法;云模型;數學核心素養;綜合能力

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 收稿日期：2020-06-17 文章編號：1674-120X（2020）32-0051-02

2014 年3 月，教育部印發了《關于全面深化課程改革、落實立德樹人根本任務的意見》，首次以文件形式提出“核心素養”的概念，把核心素養作為各學科的課程目標和教學要求的核心依據。2016年9月教育部發布的《中國學生發展核心素養》以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養“全面發展的人”為核心，分為三方面、六大素養、十八個基本要點。如何借助數學核心素養培養機制切實推動教學改革、有效培養學生良好的學習習慣、增強學生的學習能力、逐步提高學生的綜合能力等成為高教研究的熱點話題。

一、數學核心素養對學生綜合能力培養評估模型

數學核心素養是培養大學生綜合素質和創新精神的重要手段，可從學習分析能力、批判創造能力、綜合實踐能力等方面構建數學核心素養對學生綜合能力培養作用的指標體系，量化指標，建立評估模型，進行綜合評價，客觀地認識數學核心素養對大學生綜合能力培養的作用。這為數學核心素養培育的實施單位提供了科學合理的參考依據，以便完善素質教育培養機制，推動教學改革、增強學生的綜合能力、提升素質教育質量。針對數學核心素養對學生綜合能力培養過程的關鍵指標因素，可建立如下綜合評估指標體系：

（1）分析概括能力，它是數學核心素養對學生綜合能力培養體現的基本能力，主要包含理解知識能力、分析問題能力、文字表述能力和全局概括能力等。

（2）批判創造能力，它是數學核心素養對學生綜合能力培養展示的核心能力，主要包括質疑權威能力、發現問題能力、發散思維能力和解決問題能力等。

（3）綜合實踐能力，它是數學核心素養對學生綜合能力培養蘊涵的綜合能力，主要包括溝通協調能力、融會貫通能力、團隊協作能力和靈活運用能力等。

二、基于層次分析—云模型的數學核心素養對學生綜合能力培養的效果研究

（一） 層次分析

層次分析由Saaty 教授提出，它是一種簡便、靈活、實用的多準則決策方法，適用于復雜、模糊、隨機實際問題的定量決策。主要內容是就數學核心素養對學生綜合能力培養系統進行模型化處理，分析影響目標的因素，由基本屬性建立層次隸屬關系，構建指標因素層次數學模型。步驟為：

（1）基于目標層是通過一定的準則層約束方案層，同層次因素之間相互獨立且互不影響，構建包含目標層、準則層和方案層的遞階層次模型。

（2）對遞階層次的各層指標因素進行兩兩比較以構造判別矩陣A=（aij）n'n，為使A定量化和無量綱化，采用1～9 標度法，具體含義為：

①重要性標度1表示：兩因素相比，前者比后者同等重要;

②重要性標度3表示：兩因素相比，前者比后者稍微重要;

③重要性標度5表示：兩因素相比，前者比后者明顯重要;

④重要性標度7表示：兩因素相比，前者比后者強烈重要;

⑤重要性標度9表示：兩因素相比，前者比后者極端重要;

⑥重要性標度2，4，6，8表示：分析因素介于相鄰判斷中間值。

（3）采用特征根法求A的最大特征值l（A）及特征向量w（A）=（w1，w2，…，wn）T，則A=（aij）n'n，其中aij =wi/wj，i，j=1，2，…，n。

（4）求一致性指標，結合表1中的平均隨機一致性指標RI，分析一致性比例，當CR<0.10時，A通過一致性檢驗，否則對A進行修正。

（二） 云模型

云模型由李德毅院士于1995年提出，建立在隨機理論和模糊理論基礎上，可實現定性與定量間的轉化，能在系統評價與決策分析等方面發揮巨大作用，是處理復雜性、隨機性、多屬性問題的良好工具。本文采用“優”“良”“好”“一般”“差”的定性語言來描述數學核心素養培養在學生綜合能力培養中的作用，用云模型來表達。

1.云模型的數字特征

云模型通過云的數字特征（期望Ex，熵En，超熵He）反映定性概念整體上的定量特征，將模糊性和隨機性進行關聯，構成定性和定量的映射關系。期望Ex代表定性概念的點，反映定性概念云滴群的重心位置;熵En用來衡量定性概念的模糊度與概率，反映定性概念的不確定性;超熵He即熵的熵，反映數域空間中代表該語言值所有點不確定度的凝聚性。

2.云發生器

云模型是通過云發生器實現定性概念和定量描述間的轉換。正向云發生器實現定性概念到定量描述的轉換，逆向云發生器完成定量描述到定性概念的映射。實現過程為：

輸入：數字特征（期望Ex，熵En，超熵He），生成云滴數量n;

輸出：n個云滴及隸屬度u（x）。操作流程為：

（1）生成均值為En和方差為He的正態隨機數si～N（En，He），i=1，2，…，n;

（2）生成均值為Ex和方差為si的正態隨機數xi～N（Ex，si），i=1，2，…，n;

（3）計算隸屬度ui（x）=，得ui（x）的云滴drop（xi，ui（x）） ，i=1，2，…，n;

（4）重復（1）到（3）的操作，直至生成n個云滴。

（三） 基于層次分析-云模型的數學核心素養對學生綜合能力培養的效果分析

以高校A為例，結合校情、師情和學情，按照綜合能力培養評估體系，考慮數學核心素養對學生綜合能力培養的作用，結合專家指導，采用“優”“良”“好”“一般”“差”五級評價標準，運用層次分析法建立比較矩陣，獲得綜合能力培養評估各級指標因素的權重。

（1）綜合能力培養評估體系的一級指標因素含有分析概括能力（權重45%）、批判創造能力（權重35%）和綜合實踐能力（權重20%）。

（2）分析概括能力的二級指標因素有理解知識能力（權重30%）、分析問題能力（權重25%）、文字表述能力（權重20%）和全局概括能力（權重25%）。

（3）批判創造能力的二級指標因素有質疑權威能力（權重20%）、發現問題能力（權重25%）、發散思維能力（權重30%）和解決問題能力（權重25%）。

（4）綜合實踐能力的二級指標因素有溝通協調能力（權重35%）、融會貫通能力（權重20%）、團隊協作能力（權重30%）和靈活運用能力（權重15%）。

評語集是“好”“中”“差”之類的模糊概念，可采用一維正態云來描述每個評語。評語集是專家進行科學評判的依據和規范。一般而言，評語集中的評語數量是奇數。本文采用“優”“良”“好”“一般”“差”的五級定性語言，對應的評分區間為[80，100]、[70，80]、[60，70]、[50，60]、[0，50]。

由于本評價問題是多層次的綜合評價問題，依據多層次評價的基本步驟，由最低層依次向高層次進行綜合。以實際調查得到的學生自評結果作為數據來源，利用逆向云發生器先對每個二級指標的評分數據進行處理，每一個語言值型的指標對應一個云模型進行轉換，獲得每個二級指標的數字特征參數，如表2所示。

虛擬云是按照某種應用目的，對各基云數字特征參數進行計算，將結果作為新的數字特征構造成一個新云。運用虛擬云公式，將三個一級指標的子指標項的評價云綜合起來得到每個一級指標的云模型的數字特征參數，如表3所示。

將一級指標的評價云綜合起來得到最后的整體評價結果，評價云的三個特征值分別為：Ex=85.30，En=9.95，He=0.391。由此可見，綜合評價結果的期望值為85.30，在區間[80，100]內。結果表明數學核心素養對學生綜合能力培養可以起到有效的推動作用。

參考文獻：

[1]李德毅，杜 鹢.不確定性人工智能[M].北京：國防工業出版社，2014.

[2]龔 杰，雍歧東，于 力，等.基于云模型和層次分析法的油料保障能力評估[J].兵工自動化，2018，37（1）：66-69.