試論統(tǒng)計(jì)學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

曹鉆

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)中最重要的必修課之一，但是高等數(shù)學(xué)的門檻較高，在高等數(shù)學(xué)課堂上引入統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，有助于學(xué)生理解并應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)。本文簡述了高等數(shù)學(xué)教學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展現(xiàn)狀，分析了高等數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的共同點(diǎn)，為統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提出了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的可行策略。

1 高等數(shù)學(xué)教學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展現(xiàn)狀

在大學(xué)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師們需要通過不斷的創(chuàng)新自己的教學(xué)模式，才能激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣。現(xiàn)在我國教育課程改革中大力倡導(dǎo)新型課堂，在這種新型課堂之中，學(xué)生能夠更多地參與課堂教學(xué)，當(dāng)有沒弄清楚或者不明白的時(shí)候可以直接向教師提出。通過這種教學(xué)模式，學(xué)生不僅能夠提高自己的學(xué)習(xí)效率，教師也可以從中發(fā)現(xiàn)自己在教學(xué)過程中還有哪些可以提高的地方，并在之后加以改進(jìn)。

統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)課程中一個(gè)重要的分支，它以隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律研究為主要內(nèi)容。這門學(xué)科涉及到很多方面，小到各種圖表，大到概率論等，都可以被視作統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的內(nèi)容。統(tǒng)計(jì)學(xué)在人們的生產(chǎn)和生活中有著極為廣泛的應(yīng)用，為人們工作的開展帶來了許多便利。

2 高等數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的共同點(diǎn)分析

高等數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)作為大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的兩大學(xué)科，存在很多共同之處。首先，二者具有十分相似的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)學(xué)科中非常重要的一門學(xué)科，是所有學(xué)校許多專業(yè)的必修課之一。統(tǒng)計(jì)學(xué)也是數(shù)學(xué)王冠上一顆璀璨的寶石，在整個(gè)學(xué)科中有著舉足輕重的地位，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的知識(shí)，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)作為工具，可以解決很多難題。從具體內(nèi)容上來說，高等數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)都需要以變量作為基本的研究對(duì)象，所以具有十分相似的理論基礎(chǔ)。其次，高等數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)在教學(xué)中也具有很多的相似之處，無論是高等數(shù)學(xué)還是統(tǒng)計(jì)學(xué)，都要求學(xué)生有著扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

3 統(tǒng)計(jì)學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

從數(shù)學(xué)這門學(xué)科誕生的那一天起，數(shù)形結(jié)合的思想就在數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展之中得到了充分的應(yīng)用，并且在今天仍然表現(xiàn)出了旺盛的生命力。為了提升教師在高等數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)效率，教師可以將統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中。教師可以通過構(gòu)建一些數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生理解或者證明一些高等數(shù)學(xué)中的定理。例如在“間斷點(diǎn)分類”這一節(jié)課的講解過程中，如果教師能夠根據(jù)課本上的講述以及自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)繪制出間斷點(diǎn)的圖象，如圖3-1所示。學(xué)生們就可以從教師繪制的坐標(biāo)系中看到第一類間斷點(diǎn)函數(shù)左右象限均是存在的，第二類間斷點(diǎn)函數(shù)至少有一個(gè)左右象限是不存在的。理解了這些知識(shí)，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)的時(shí)候就會(huì)輕松很多，不會(huì)再犯一些最基礎(chǔ)的錯(cuò)誤。

圖3-1 間斷點(diǎn)的分類

3.2 利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)簡化高等數(shù)學(xué)的證明

高等數(shù)學(xué)中包含了許多的定理，這些定理是數(shù)學(xué)大廈之中的根基與骨架，如果沒有這些數(shù)學(xué)定理的支撐，高等數(shù)學(xué)將舉步維艱甚至不復(fù)存在。對(duì)于學(xué)生來說，這些定理的證明很多情況下是一個(gè)讓人頭痛的問題，如果教師還是采用傳統(tǒng)的教學(xué)引導(dǎo)過程，學(xué)生們很有可能會(huì)因?yàn)檫^程的過于繁瑣復(fù)雜而感到無趣，甚至主動(dòng)放棄這一塊的知識(shí)。例如微分學(xué)中的基本定理之一的拉格朗日中值定理，如果函數(shù)滿足兩個(gè)條件：在閉區(qū)間上連續(xù);在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)使拉格朗日中值公式成立。可以巧妙借助統(tǒng)計(jì)學(xué)思想，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)羅爾定理可得至少有一點(diǎn)在范圍內(nèi)且導(dǎo)數(shù)為，變形后即可證明。

再比如在證明高等數(shù)學(xué)中一些不等式的時(shí)候，可以適當(dāng)選擇構(gòu)造隨機(jī)變量的方式，對(duì)其進(jìn)行證明。

在這種情況下，教師就要另辟蹊徑，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)來幫助引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行定理的證明，可以讓學(xué)生們耳目一新，掌握實(shí)用的數(shù)學(xué)思維。統(tǒng)計(jì)學(xué)的很多知識(shí)在高等數(shù)學(xué)中的定理證明中會(huì)發(fā)揮出具大的作用，學(xué)生會(huì)在理解題意的基礎(chǔ)上發(fā)散思維，在積極思考的過程中完善自身的數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)，擁有簡潔明晰的證明思路。

3.3? 統(tǒng)計(jì)學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量評(píng)估中的應(yīng)用

除了高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上可以與統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)合以外，統(tǒng)計(jì)分析方法還可以被應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量評(píng)估當(dāng)中。一般而言，在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)成績?cè)u(píng)估時(shí)，會(huì)綜合考量學(xué)生各項(xiàng)表現(xiàn)，以得到更為準(zhǔn)確的評(píng)定結(jié)果。那么利用多元統(tǒng)計(jì)分析，便可以十分清晰的對(duì)其教學(xué)成果進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到的分析結(jié)果也可以對(duì)于日后教學(xué)方式改進(jìn)起到一定參考作用。

假設(shè)在進(jìn)行教學(xué)成果評(píng)估時(shí)需要參考個(gè)指標(biāo)，記為隨機(jī)變量，進(jìn)行主成分分析之后成為對(duì)個(gè)指標(biāo)形成的線性組合進(jìn)行分析研究，得到新的主成分，有如下關(guān)系：

要注意對(duì)于重要信息量的保留，充分全面反映原指標(biāo)內(nèi)容。SPSS軟件正是利用多元分析理念，實(shí)現(xiàn)對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效評(píng)估，確定出各線性組合中權(quán)重較大的指標(biāo)，有效反映出影響課堂教學(xué)效果的主要影響因素，對(duì)分析提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)水平有著非常重要的反饋意義。

4 結(jié)語

高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn)，就是高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。統(tǒng)計(jì)學(xué)作為近代數(shù)學(xué)的重要組成之一，對(duì)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化具有重要的啟發(fā)作用。為了提高高等數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)效率，教師在教學(xué)過程中引入一定的統(tǒng)計(jì)學(xué)思維，可以幫助學(xué)生拓展思維，打破思維定式，激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，取得優(yōu)秀的成績。

（作者單位：西安培華學(xué)院）