重建單元知識結構 優化單元整體教學
——以“探索三角形全等的條件”教學為例

張紹俊

當前的數學課堂教學大多是根據教材的安排，按照課時知識點進行教學，這樣容易導致所學知識點以碎片化的形式進行存儲，不易形成單元整體知識結構，學生較難形成綜合運用能力。作為教師，應從整體化、系統化的高度進行單元知識整體結構設計，優化單元整體教學，凸顯教師的主導地位。

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》明確指出，“教材的編寫要有利于調動教師的主動性和積極性，有利于教師進行創造性教學”。教材是課程的載體，是重要的教學資源，承載著編寫者對課程理念和教學思想的理解，但它不一定滿足教學情境變化了的教學實際。教師既要充分應用教材組織教學，同時又不能盲目依賴教材。

從“教教材”到“用教材教”，既是新課標的重要理念更是教師教學主導性的體現。筆者在“探索三角形全等的條件”單元教學中，運用單元知識結構整體教學模式的相關理論，重建單元知識結構，有效提高教學效率，促進學生綜合解題能力和核心素養的提升。

一、教學內容分析

“探索三角形全等的條件”是蘇科版教材八年級上冊第一章第三節的教學內容。教材對于三個基本事實的探究學習按照以下統一模式進行：先用尺規作圖作符合要求的三角形，然后驗證所作三角形是否重合（全等），進而得出判定兩個三角形全等的三個基本事實（SAS、ASA、SSS），最后通過相關例題對所學的判定方法進行鞏固運用。關于全等判定的“AAS”，教材安排在學習“ASA”之后，作為它的推論證明并運用；在一般三角形全等的判定方法之后，再通過構造全等直角三角形，證明得出兩個直角三角形全等的判定定理，即“斜邊、直角邊”或“HL”。

教材這樣的結構安排主要是圍繞知識點依次進行教學設計，學生每課時學習掌握一種判定方法，雖然后面的學習內容也不斷融合前面的知識，體現螺旋上升的基本設計思路，但總體上學生形成的是零散碎片化的知識，學生對比選擇、綜合運用的能力達不到應有的高度，尤其在遇到比較復雜的圖形時，學生往往無從下手、無所適從。

從單元結構的視角看，課堂教學過程不僅要讓學生掌握“形式化”的“明述知識”，更應注重體現思維能力的“默會知識”的培養。基于這樣的認識，在具體的教學實踐中，筆者首先把每課時都有的“作圖+驗證+基本事實的歸納”整合在一節課進行，讓學生集中了解判定三角形全等的三個基本事實，以及由“ASA”推證出來的“AAS”定理，初步認識判定三角形全等的基本方法和主要思路。這樣設計的主要理由是：把同類問題放在一起進行集中探究，有利于學生在“最近發展區”進行學習，能達到觸類旁通、融會貫通、舉一反三的效果，更利于學生感受方法的多樣性和數學思想方法的魅力。其次是4 種判定方法的簡單運用和解題的規范化要求，學生在初步運用過程中逐步辨析4 種判定方法的條件、位置關系以及它們的異同，最終理解掌握4 種判定方法，實現由“明述知識”到“默會知識”的自然遷移。最后再依托題組進行綜合運用訓練，重在思路的分析和方法的選擇，凸顯思維能力要求。筆者的設計和按課時知識點組織教學相比，不僅完成教學任務的時間變短（由原來的5 課時縮短為4 課時），而且有助于培養學生辨別理解判定方法并靈活選擇運用判定方法解題的能力。

二、課時教學設計

根據重建的單元知識結構，“探索三角形全等的條件”（一般三角形）整體設計安排四課時。以第一課時為例設計如下。

第一課時：三角形全等的4 種判定方法的整體認識。

【教學目標】會用尺規作圖按要求作三角形；在操作探究過程中認識三個基本事實及“AAS”；經歷探索三角形全等的條件的過程，學習分析問題的方法，積累數學活動的經驗。

【教學重難點】掌握用尺規作圖作三角形的方法；初步理解三個基本事實和“AAS”；四種判定方法的區別。

主要教學過程如下：

1.問題引入。

（1）能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形，那么要判定兩個三角形全等一定要把兩個三角形疊放在一起，看它們是否重合嗎？有沒有比較簡單的方法？

（2）當兩個三角形的一對邊或角相等時，它們全等嗎？當兩個三角形的兩對邊或角分別相等呢？

（3）請你猜想一下，兩個三角形滿足幾個條件時可能全等？

（設計意圖：第一個問題是讓學生感受到探究三角形全等條件的合理性和必要性，增強本節課學習的興趣和愿望；第二和第三個問題是引導學生從不同角度去尋求解決問題的方法和策略，體會合理猜想是探究數學問題的一個基本策略。）

2.問題探究。

（1）操作活動一：用尺規作圖作△ABC，使∠A=∠α，AB=a，AC=b。按下列作法作圖：①作∠MAN=∠α；②在射線AM、AN 上分別作線段AB=a，AC=b；③連接BC。△ABC 就是所求作的三角形。接著將△ABC 剪下來，同桌的兩人將剪下來的三角形疊合。

將所作三角形剪下來與其他同學進行比較，你發現了什么？說明了什么問題？

歸納結論：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。

（設計說明：讓學生經歷動手作圖、裁剪、疊合等過程，感受數學來源于生活，體會知識的來龍去脈及相互關系，從而易于認識、理解知識，并為知識的運用做好鋪墊。）

（2）操作活動二：按所列作法，用尺規作圖作△ABC，使AB=a，∠A=∠α，∠B=∠β。

根據同樣的操作探究過程，分析歸納可得：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。

（3）操作活動三：按所列作法，用尺規作圖作△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。

根據同樣的操作過程，分析歸納可得：三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

（設計說明：在操作活動一的基礎上類比進行操作活動二、三，詳略得當，銜接自然，有利于知識的生成，符合學生的認知規律。三個基本事實形成一個知識模塊，有利于學生整體認知、辨別和對比。）

（圖1）

（4）問題思考：如圖1，在△ABC 和△MNP中，∠A=∠M，∠B=∠N，BC=NP，那么△ABC和△MNP 全等嗎？為什么？

根據“ASA”可得基本事實（ASA）的推論：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）。

（設計說明：將判定三角形全等的“AAS”以問題形式呈現給學生，激發學生的思考興趣，同時通過“兩角和一個邊”的條件分析，自然而然與“ASA”聯系起來，再運用化歸思想證明推論“AAS”的成立。）

三、基于單元知識結構的教學反思

1.突出整體知識建構，促進單元教學目標達成。

“單元結構教學”就是根據知識的發生規律、內在的聯系，將數學知識和教學內容進行優化重組，構建新的教學單元或教學模塊，通過對新的教學單元的學習，掌握應有的知識，形成必備的能力，有效實現單元整體教學目標。本單元教學設計時沒有按照書本的編排順序，即每一個判定方法（基本事實和推論）都安排一個課時進行探究歸納、例題練習和鞏固運用，而是整體呈現單元內容，即第一節課的重點是通過作圖比較，猜想歸納四種判定方法，讓學生整體感知并進行對比理解，不作運用方面的要求。在后續課時中再進行例題教學，由簡單到綜合的鞏固運用，這樣突出了不同課時的教學重點，也有利于課時教學目標和單元目標的達成；特別是能讓學生整體理解知識，運用整體的思路去分析解決問題，形成整體的知識結構，提升綜合運用能力。

2.滲透數學思想，培養核心素養。

重構知識單元，就是將三個基本事實放在一起進行探究歸納，通過類比形成三種判定方法，滲透了數學中的類比思想；同時，四種判定方法都是由圖形中的某些數量關系判斷圖形的位置關系，體現了數形結合的數學思想。同一個圖形，不同的條件需要選擇不同的判定方法，滲透分類討論的數學思想。在日常的教學活動中，教師要精心設計知識單元，優化整體結構，將數學思想滲透到教學活動中去，使學生不斷積累數學活動經驗，提升數學核心素養。

3.關注個體差異，注重分層要求。

由于每個學生的學習成績、學習動力、學習興趣、學習態度、學習方法以及學習和成長環境不同，他們的個性習慣、興趣愛好也不相同，面對同樣的數學問題所表現出來的悟性和接受能力也大不相同。特別是全等三角形的四種判定方法一起學習、一起辨別運用時，對一些學習基礎薄弱、綜合運用能力不強的學生難度顯得更大些，甚至個別學生看到問題無從下手、無所適從。因此，在教學設計安排時，第二課時“簡單運用”的起點應適當低一些，速度適當放慢，遵循“低起點、小坡度、密臺階”的基本原則設計訓練題組，即使是第三、第四課時的“綜合運用”也要把握問題的難度，對不同層次的學生提出不同的要求。不關注個體差異，盲目貪多求難，往往適得其反。