利用構(gòu)造函數(shù)思想提高高中生解題能力的教學(xué)研究

晏美林

【內(nèi)容摘要】在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了全面加強對學(xué)生的思維引導(dǎo)，以提高學(xué)生的應(yīng)試技巧和解題能力，要求教師能夠加強對學(xué)生的方法指導(dǎo)。借助構(gòu)造函數(shù)思想以幫助學(xué)生將方程數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等相應(yīng)的知識充分聯(lián)系起來，通過有效的歸納總結(jié)，以全面提高學(xué)生的解題能力?；诖?，本文將著重探究構(gòu)造函數(shù)思想對于提高學(xué)生解題能力所帶來的積極影響，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議以供參考。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造函數(shù)思想 ?高中生 ?解題能力 ?策略

引言

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，借助構(gòu)造函數(shù)這一思想能夠幫助學(xué)生全面加強基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力和解題能力。因而在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中，則需要教師能夠科學(xué)合理的應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)，為學(xué)生營造一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，幫助學(xué)生加強知識的歸納和總結(jié)，而通過系統(tǒng)性的教學(xué)，將高中數(shù)學(xué)相應(yīng)的知識點串聯(lián)起來，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的思維導(dǎo)圖，從而讓學(xué)生的解題思路能夠更加清晰，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，以全面提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。

一、在不等式中的應(yīng)用

構(gòu)造函數(shù)思想可以分成兩個部分，一方面是結(jié)合具體的問題來構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型，從而解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，另一個部分則是結(jié)合數(shù)學(xué)哲學(xué)和算法理論來構(gòu)造相應(yīng)的解題方法，利用構(gòu)造函數(shù)的思想能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，同時讓學(xué)生在解題的過程中結(jié)合具體的數(shù)學(xué)模型以全面提高其分析問題，解決問題的綜合能力。在不等式的教學(xué)過程中，為了幫助學(xué)生掌握基本不等式，且能夠認識基本不等式的運算結(jié)構(gòu)，從而掌握不等式的幾何意義和代數(shù)意義，學(xué)會利用基本不等式來計算相應(yīng)的題目，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹規(guī)范的學(xué)習(xí)能力①。教師可以借助構(gòu)造函數(shù)的思想，引導(dǎo)學(xué)生來分析問題。通過構(gòu)造函數(shù)以借助適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，充分利用函數(shù)性質(zhì)來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的解題能力。例如在柯西不等式的證明中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助二次函數(shù)的性質(zhì)和重要不等式a2+b2≥2|ab|來證明柯西不等式。借助構(gòu)造函數(shù)的思想充分利用等式左邊右邊恒等變形思想，二次函數(shù)的性質(zhì)，來證明不等式是否成立的問題。與傳統(tǒng)的教學(xué)方式相比，借助構(gòu)造函數(shù)思想能夠幫助學(xué)生更進一步加強其前期所學(xué)知識的回顧和總結(jié)，同時有效降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，讓學(xué)生在驗證證明的過程中養(yǎng)成自主探索，實踐驗證的良好習(xí)慣，全面提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和解題能力。在不等式的教學(xué)中，除了要幫助學(xué)生構(gòu)建函數(shù)思想，還需要教師能夠帶領(lǐng)學(xué)生，以充分發(fā)揮學(xué)生的潛力，激發(fā)學(xué)生的探究意識，不斷強化基礎(chǔ)知識的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，讓學(xué)生能夠?qū)W會應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)思想來解決不等式問題。

二、在數(shù)列中的應(yīng)用

將構(gòu)造函數(shù)思想應(yīng)用到數(shù)列的教學(xué)中，讓學(xué)生能夠聯(lián)系其前期所學(xué)的知識來學(xué)習(xí)新的知識。通過有效的知識遷移以全面提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂，促進學(xué)生的思維發(fā)展。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，而借助構(gòu)造函數(shù)的思想，幫助學(xué)生尋找解決數(shù)列問題的突破口，開拓學(xué)生的思維，從而提高學(xué)生的解題能力。在高中數(shù)學(xué)數(shù)列的學(xué)習(xí)中常見的有兩類題型。第一類則是給定數(shù)列的序列來求數(shù)列的通項公式，在這一類題目的教學(xué)中，教師可以借助構(gòu)造函數(shù)的思想幫助學(xué)生確定數(shù)列的定義域②。數(shù)列作為函數(shù)中的一種，在解這類問題時要著重關(guān)注數(shù)列項數(shù)n成立的條件。例如，已知數(shù)列{bn}滿足bn=b1+b2+b3+…+（n-1）bn-1，其中（n ≥2），求數(shù)列的通項公式。結(jié)合題目所給定的n個條件，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)從而求得通項公式bn的值。另一類的題目則是借助構(gòu)造函數(shù)思想，利用待定系數(shù)法和換元法來求數(shù)列的通項公式和前n項和公式。在解決這類題目過程中，直接求解起來非常困難，對學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力，邏輯思維能力有著較高的要求。而大部分的學(xué)生無法達到要求，而借助構(gòu)造函數(shù)的思想將問題前n項和轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，從而綜合利用換元法來求出最終需要的值。這樣的解題方法能夠大大降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，以充分調(diào)動學(xué)生的思維，讓學(xué)生在自主探究的過程當(dāng)中養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，從而在面臨同類型的題目時，以結(jié)合往期所學(xué)的知識搭建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而幫助學(xué)生解決相應(yīng)的題目，全面提高學(xué)生分析問題解決問題的綜合能力。例如，已知數(shù)列{an}，若S3n-1=3n2+4n+5，求Sn。在本題的解題過程中，教師可以借助構(gòu)造函數(shù)的思想將其轉(zhuǎn)化為f（3n-1）=3n2+4n+5，以此來求f（n）。通過構(gòu)造函數(shù)和換元法來解決相應(yīng)的數(shù)列問題，幫助學(xué)生找到問題的切入點，從而帶動學(xué)生的思維發(fā)展，幫助學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，全面提高學(xué)生的解題能力。

三、在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何解決導(dǎo)數(shù)問題是一個教學(xué)的難點。在導(dǎo)數(shù)這一部分知識的教學(xué)過程中，除了幫助學(xué)生加強導(dǎo)數(shù)概念的了解之外，還需要加強對實際背景的學(xué)習(xí)，結(jié)合瞬時速度加速度，光滑曲線，切線的斜率等多方面的知識點，使得學(xué)生能夠生成正確的認識，明確導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并掌握導(dǎo)數(shù)的概念。而在實際的考察過程中，除了要求學(xué)生能夠熟記導(dǎo)數(shù)的基本公式之外，還要求學(xué)生能夠?qū)W會導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，即學(xué)會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值。由于知識點較多且相對較復(fù)雜，因而在實際的教學(xué)過程當(dāng)中，則要求教師能夠幫助學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型全面加強對學(xué)生的思維指導(dǎo)，使得學(xué)生在面臨同類型的題目過程中能夠及時的作出反應(yīng)，且能夠結(jié)合往期所學(xué)的知識，通過有效的知識遷移，以獲得正確的解題方法。例如，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，為了判斷函數(shù)的單調(diào)性，首先要求學(xué)生能夠恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)，構(gòu)造合適的函數(shù)能夠有效降低解題的難度，同時有效避免二次求導(dǎo)的現(xiàn)象出現(xiàn)，使得學(xué)生的解題思路更加的清晰明了。

構(gòu)造函數(shù)是一個非常的復(fù)雜的過程，要求學(xué)生能夠在看到題目時第一時間作出反應(yīng)，且能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，這就需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中能夠通過長期的積累和總結(jié)，以掌握相應(yīng)的解題技巧。在實際的教學(xué)活動中，教師還需要通過有針對性的訓(xùn)練，不斷強化學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，全面加強對學(xué)生的思維引導(dǎo)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中能夠形成條件反射，在解題的過程中，選擇合適的解題方法，科學(xué)合理的使用構(gòu)造函數(shù)思想，從而提高其解題的效率和準確性。例如，在函數(shù)與圖像的解題中，數(shù)形結(jié)合的方法比構(gòu)造函數(shù)更適用，計算過程也更加直觀，而通過特殊轉(zhuǎn)換，加強函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)換，通過分類討論，加強整體和局部的分析，使得復(fù)雜的問題簡單化，提高解題的準確率。

結(jié)束語

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)的思想能夠簡化學(xué)生的解題步驟，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和綜合能力。同時，讓學(xué)生能夠?qū)W會利用構(gòu)造函數(shù)的思想，將其所學(xué)的知識充分聯(lián)系起來，從而構(gòu)建適應(yīng)的思維導(dǎo)圖，當(dāng)在再次面臨同類型的題目時，能夠形成條件反射，以全面提高學(xué)生的解題技巧和解題能力。

【注釋】

① 姜雷. 巧結(jié)合大作用：函數(shù)思想的構(gòu)造應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（1）：58-60.

② 孫寬程. 運用函數(shù)與方程思想解決實際問題的研究[J]. 現(xiàn)代鹽化工，2019，46（3）：175-176.

（作者單位：江西省上高二中）