“函數(shù)模型的應用”教學設計及其評析

叢龍琦

一、教學內(nèi)容分析

本課選自人民教育出版社的A版高中數(shù)學必修1第四章第五節(jié)“函數(shù)模型的應用”。本小節(jié)是函數(shù)的基礎知識和上一節(jié)“幾類不同增長的函數(shù)模型”的延續(xù)，在函數(shù)應用（一）的基礎上，進一步展開函數(shù)應用。教材要求根據(jù)材料中提供的相關信息，分析和理解實際問題，對于已知函數(shù)模型能夠進行應用，對于簡單實際問題能夠自己建立函數(shù)模型并對其進行求解、分析。本節(jié)課既是對前面所學函數(shù)基礎知識的總結，也開啟學生應用函數(shù)的新世界。

二、學生學情分析

學生在本節(jié)課之前已經(jīng)掌握了一些基本初等函數(shù)的相關知識，結合實例學習了幾類函數(shù)的概念、圖像和性質，并能應用它們解決學科內(nèi)的一些問題和一些簡單的實際問題。但是面對較復雜的實際問題，不能將其轉化為數(shù)學問題，以及如何選擇函數(shù)模型來刻畫實際問題，大多數(shù)學生缺乏經(jīng)驗，也缺乏數(shù)學抽象能力。

三、教學目標確定

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)和已知馬爾薩斯人口增長模型，驗證問題中數(shù)據(jù)與所提的數(shù)學模型是否吻合，培養(yǎng)數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模素養(yǎng);

（2）根據(jù)實際問題建立恰當函數(shù)類型構建函數(shù)模型，將實際問題劃歸為數(shù)學問題，通過運算、推理求解函數(shù)模型，再將用數(shù)學知識和方法的得出的結論，還原到實際問題的解決，滲透應用數(shù)學意識，使學生體會化歸思想，培養(yǎng)數(shù)學運算能力;

（3）通過成功解決問題獲得學習成就感和樂趣，培養(yǎng)學習興趣。鍛煉克服困難的意志，建立學好數(shù)學的自信心。

四、教學重、難點

教學重點：歸納建立函數(shù)模型的基本過程

教學難點：對數(shù)據(jù)信息進行擬合，建立函數(shù)模型，并進行模型修正

五、教學方法

引導發(fā)現(xiàn)法：對生活中的實際問題進行研究，引導學生對實際問題進行數(shù)學抽象，對函數(shù)知識進行應用，并以多媒體課件及Excel計算為依托，增強課堂教學的直觀性、趣味性，促進學生學習的積極性，引導學生思考、歸納、總結。

六、教學過程設計

【回顧舊知，創(chuàng)設情境】

復習回顧：到目前為止，我們已經(jīng)學習了

思考題：為什么我們要學習函數(shù)知識？

【設計意圖】通過貼近生活的問題背景，讓學生建立用恰當函數(shù)模型解決問題，加深對函數(shù)概念本質的認識和理解，提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng)。

函數(shù)與現(xiàn)實世界有著緊密的聯(lián)系，它是用來描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型，面對實際問題時，該如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？

【講授新知，提煉方法】

知識探究：應用已知函數(shù)模型解決實際問題

例題2 人口問題是當今世界各國普遍關注的問題。認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關政策提供依據(jù)。早在1798年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型： （其中t表示經(jīng)過的時間， 表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率）

問題1：題中有哪些量是變量，哪些量是常量？

問題2：如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001）， 的值為多少？

問題3：用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型。

問題4：檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符。

問題5：如果按表4.5-4的增長趨勢，那么大約在哪一年我國的人口數(shù)達到13億？

求解得出我國1950-1959年期間人口增長模型為 （ ），畫出函數(shù)圖像，并根據(jù)表4.5-4中的數(shù)據(jù)畫出散點圖。由圖4.5-6可以看出，所得模型與1950-1959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合。通過函數(shù)模型計算得出 ，即大約1950年后的第39年（1989年），我國人口會達到13億。而事實上我國直到2005年才突破13億，對由函數(shù)模型所得的結果與實際情況不符，你能找出原因嗎？

【設計意圖】：結合人口增長的實際社會意義和重要性激發(fā)學生的學習熱情和責任感;體會將實際問題轉化為數(shù)學問題并解決問題的過程。結合2005年1月6日我國人口達到13億的實際情況，探究數(shù)學模型失真的原因。

小結：用已知函數(shù)模型解題的一般過程：解模→建模→用模。

注意：由于實際問題的條件與得出已知模型的條件有所不同，往往需要對模型進行修正。

【知識探究】：自己建立函數(shù)模型解決實際問題

學生活動：完善累積匯報數(shù)，并通過計算器完成表4.5-6。

【設計意圖】：使學生注意實際問題中增長量和累積回報量的區(qū)別，應用模型對實際問題進行分析。

小結：自己建立函數(shù)模型解決實際問題一般程序是：審題--建模--解模--還原