“函數模型的應用”教學設計及其評析

叢龍琦

一、教學內容分析

本課選自人民教育出版社的A版高中數學必修1第四章第五節“函數模型的應用”。本小節是函數的基礎知識和上一節“幾類不同增長的函數模型”的延續，在函數應用（一）的基礎上，進一步展開函數應用。教材要求根據材料中提供的相關信息，分析和理解實際問題，對于已知函數模型能夠進行應用，對于簡單實際問題能夠自己建立函數模型并對其進行求解、分析。本節課既是對前面所學函數基礎知識的總結，也開啟學生應用函數的新世界。

二、學生學情分析

學生在本節課之前已經掌握了一些基本初等函數的相關知識，結合實例學習了幾類函數的概念、圖像和性質，并能應用它們解決學科內的一些問題和一些簡單的實際問題。但是面對較復雜的實際問題，不能將其轉化為數學問題，以及如何選擇函數模型來刻畫實際問題，大多數學生缺乏經驗，也缺乏數學抽象能力。

三、教學目標確定

（1）根據表格提供的數據和已知馬爾薩斯人口增長模型，驗證問題中數據與所提的數學模型是否吻合，培養數學抽象、數據分析和數學建模素養;

（2）根據實際問題建立恰當函數類型構建函數模型，將實際問題劃歸為數學問題，通過運算、推理求解函數模型，再將用數學知識和方法的得出的結論，還原到實際問題的解決，滲透應用數學意識，使學生體會化歸思想，培養數學運算能力;

（3）通過成功解決問題獲得學習成就感和樂趣，培養學習興趣。鍛煉克服困難的意志，建立學好數學的自信心。

四、教學重、難點

教學重點：歸納建立函數模型的基本過程

教學難點：對數據信息進行擬合，建立函數模型，并進行模型修正

五、教學方法

引導發現法：對生活中的實際問題進行研究，引導學生對實際問題進行數學抽象，對函數知識進行應用，并以多媒體課件及Excel計算為依托，增強課堂教學的直觀性、趣味性，促進學生學習的積極性，引導學生思考、歸納、總結。

六、教學過程設計

【回顧舊知，創設情境】

復習回顧：到目前為止，我們已經學習了

思考題：為什么我們要學習函數知識？

【設計意圖】通過貼近生活的問題背景，讓學生建立用恰當函數模型解決問題，加深對函數概念本質的認識和理解，提升數學抽象核心素養。

函數與現實世界有著緊密的聯系，它是用來描述客觀世界變化規律的數學模型，面對實際問題時，該如何選擇恰當的函數模型來刻畫它呢？

【講授新知，提煉方法】

知識探究：應用已知函數模型解決實際問題

例題2 人口問題是當今世界各國普遍關注的問題。認識人口數量的變化規律，可以為制定一系列相關政策提供依據。早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態下的人口增長模型： （其中t表示經過的時間， 表示t=0時的人口數，r表示人口的年平均增長率）

問題1：題中有哪些量是變量，哪些量是常量？

問題2：如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001）， 的值為多少？

問題3：用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型。

問題4：檢驗所得模型與實際人口數據是否相符。

問題5：如果按表4.5-4的增長趨勢，那么大約在哪一年我國的人口數達到13億？

求解得出我國1950-1959年期間人口增長模型為 （ ），畫出函數圖像，并根據表4.5-4中的數據畫出散點圖。由圖4.5-6可以看出，所得模型與1950-1959年的實際人口數據基本吻合。通過函數模型計算得出 ，即大約1950年后的第39年（1989年），我國人口會達到13億。而事實上我國直到2005年才突破13億，對由函數模型所得的結果與實際情況不符，你能找出原因嗎？

【設計意圖】：結合人口增長的實際社會意義和重要性激發學生的學習熱情和責任感;體會將實際問題轉化為數學問題并解決問題的過程。結合2005年1月6日我國人口達到13億的實際情況，探究數學模型失真的原因。

小結：用已知函數模型解題的一般過程：解模→建模→用模。

注意：由于實際問題的條件與得出已知模型的條件有所不同，往往需要對模型進行修正。

【知識探究】：自己建立函數模型解決實際問題

學生活動：完善累積匯報數，并通過計算器完成表4.5-6。

【設計意圖】：使學生注意實際問題中增長量和累積回報量的區別，應用模型對實際問題進行分析。

小結：自己建立函數模型解決實際問題一般程序是：審題--建模--解模--還原