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世界的本原及其數學設計
——數學作為一門橫斷科學的歷史溯源

2020-02-24 11:23:46郭龍先
昭通學院學報 2020年5期
關鍵詞:畢達哥拉斯數學

郭龍先,劉 秀

(昭通學院 數學與統計學院,云南 昭通657000)

探索自然界的統一性這一崇高宗旨,始終貫穿于人類進步的歷史中。當古希臘第一位思想家、數學家泰勒斯提出“萬物源于水”這一反思世界本原的命題之后,就開啟了人類認識世界統一性的大門。其中由畢達哥拉斯開創的利用數學探索宇宙秩序與規律的思想,堪稱自然科學中最富有生命力的成果之一。這一思想方法有著悠遠的文化背景與學術傳統,回顧科學史上哲學、自然科學家利用數學探討世界本原,揭示物質實體與數學法則的關系的種種努力,有利于加深對數學作為一門橫斷科學本質的認識與理解。

1 探索世界的統一性——萬物本原的猜測與追問

在遠古時期已有的神話、藝術和行為準則的背景下,西方世界最初試圖對宇宙的產生及其組成等問題,做出自然解釋的是被譽為科學之父的古希臘哲學家泰勒斯。他所提出的“萬物源于水”這一命題受到了后世學者的高度贊譽。對該命題在哲學和科學史上的重大意義,M·克萊因的評價尤其精彩,他說道:

與現代先進的科學理論相比,泰勒斯這種對自然現象的分析顯得幼稚、淺薄。但是,泰勒斯和他的依奧尼亞學派的思想與前任思想相比,有一個很大的進步。至少這些人敢于探討宇宙,拒絕借助于神、精靈、鬼魅、邪惡、天使,或其他為具有理性思維的人不能接受的東西。他們唯物的、客觀的解釋,摒棄了神秘的、超自然的因素,而且他們的理性判斷方法,使那些怪誕的、經不起推敲的詩意般的解釋信譽掃地。深邃的直覺洞察到了宇宙的本質,而理性卻保證了這種洞察力。[1]74-75

繼泰勒斯之后的古希臘哲學家阿那克西美尼則主張“氣本原說”;赫拉克利特倡導“火為萬物之原”;恩培多克勒提出火、氣、水、土四元素為萬物之本的“四根說”。古希臘哲人對宇宙人生窮根究底、堅持不懈的追問與反思,無一不是為了揭示自然界復雜現象和多樣事物背后的統一性本原。瓦托夫斯基指出,這些探索者的最重要的方法論論點是:“事物多樣性是由一個統一的原理安排的,或者說,是由某種統一的質料派生出來的”。[2]

與上述各派哲學家尋找某種物質元素作為自然本原有所不同,畢達哥拉斯另辟蹊徑,提出了“萬物皆數”的主張。據說其學派成員的誓詞是:“謹以賦予我們靈魂的四象之名宣誓,長流不息的自然的根源包含于其中。”他們認為自然是由點、線、面和體四種幾何元素組成的,因此1、2、3、4 這四個數叫“四象”,受到特別的重視。后來亞里士多德則改為強調土、氣、火、水四種物質元素為萬物的始基。文德爾班說:“畢達哥拉斯對世界本原的解答,比米利都學派的解答更抽象,比埃利亞學派更直觀、更明確,比赫拉克利特更清楚,但比居間派提供的解答更難理解。”他們“基于無限的東西所受到的數字上的限制,基于從空間中形成形式”,將“數學形式當作了物理現實的本質”。[3]67-68

在研究自然的變化與萬物的統一性過程中,最終由留基伯和德謨克利特集諸家之大成,創立了“原子論”,達到了古希臘自然哲學的頂峰。從此如何將“多”統一成“一”,就成了學者們追求的遠大目標。文德爾班寫道:

正是這種對自然界作客觀的思考才使思維初步升華到科學概念結構的水平。其結果是,希臘科學將它的整個青春的歡樂和旺盛的知識首先貢獻給了自然界問題。……形成了基本概念或者思想模式。[3]40

中國先秦時期也產生了獨樹一幟的“陰陽五行”、“太極八卦”等關于萬物本原學說。提出了“天人合一”的思想。中華文明同樣認為“上自天文、下及地理,中于人事之得失,于萬物之幽深玄遠、出入潛沒,莫不有數存焉”。[4]“天人合一”學說,將天、地、人三者視為一個統一的整體。由此產生了一種基本觀念,即整個宇宙存在著一種統一的力量或法則,無論天上、地下和人間都受其支配。這種宇宙人生的最高主宰在商周時期曾被認為是“天帝”或“上帝”,但到了春秋戰國時期,在陰陽五行家眼中它就是一種自然法則。《呂氏春秋·知分》提出:

凡人物者,陰陽之化也。陰陽者,造乎天而成者。天固有衰嗛廢伏,有盛盈蚠息;人亦有困窮屈匱,有充實達遂;此皆天之容、物理也,而不得不然之數也。

《呂氏春秋·貴當》又說:“因其固然而然之,此天地之數也”。由于數學的正確運算,結果都必定是一樣的,因而古人認為“天數”具有控御萬物的必然性。荀子曰:“兩貴之不能相事,兩賤之不能相使,是天數也。”(《荀子·王制》)《仲秋》亦云:“凡舉事無逆天數,必順其時”。

數的必然性也被用來說明社會人生的各個方面。如對棋手而言有:“奕之為數也”。(《孟子·告子》)百工技藝也需要做到心中有“數”:“斲輪……有數存焉于其間。(《莊子·天道》)用于算命則有卜筮之數:“賈誼曰……試之卜數中以觀采”。(《史記·日者列傳》)諸如此類的還有“歷數”、“地數”、“命數”、“禮數”、“勝數”等等。

明朝數學家程大位總結說:“凡天宮、地員、律歷、兵賦以及纖悉秒忽,莫不有數”。即天文歷法、地理、軍事、賦稅和度、量等事物中都存在著數學關系。“萬物皆數”不僅包含了宇宙的統一性,而且也奠定了數學自身的統一性基礎。簡而言之,從古到今,東、西方哲人所作的種種嘗試和不懈努力都是想要建立一種統一的宇宙理論。

2 自然的奧秘與法則——宇宙的數學設計

雖然東、西方哲人都在探索和思考主宰天地萬物的原則,而且建立了各具特色的學說,但現代科學的精神卻與希臘哲人的氣質更加契合。法國天文學家伏古勒爾說:人類的思想方法,驟然改變為理性的,因此被叫做“希臘人的奇跡”;文化的演進由追求實際,產生了“工作的人”,到追求理論更產生了“智慧的人”。這種根本改變,原因雖不得而知但結果卻異常重要,因為它不但發展了天文學,而且整個西方文化都從這里產生。[5]總體而言,除古希臘文明及其繼承者外,其他幾個古老的文明中心都未能孕育出具有現代精神實質的數理科學。

古希臘哲人始終秉持宇宙是一個統一而簡單的偉大設計這一信念。他們堅稱人類是通過理性,而不是感官獲得自然知識的。阿拉克薩哥拉的名言:“理性統治著世界”表達了這種觀點的精髓。畢達哥拉斯學派相信萬物之間的關系都可以歸結為整數與整數之比,數是現實的基礎,是嚴整性和次序的根據,萬物的實質是仿效著數做出來的。世界由造物者按照數學法則設計這一思想,開啟了人類用數學對天地萬物進行統一性研究的大門。經柏拉圖發揚光大,宇宙是一種幾何結構的觀念兩千年間已成了歐洲天文學研究的指導原則。

對畢達哥拉斯學派而言,數學無疑具有最明顯的哲學品質,數學被賦予了探索真理和證明真理的雙重任務。亞里士多德在《形而上學》一書中總結了該學派對數與世界關系的認識時寫道:

他們認為,在數目中觀察到比火、土、水中更多的與存在著和生成著東西的相似之點。……此外,由于他們看到和聲的比例和屬性是在數目之中,所以就認為,其它的那些東西的全部本性也是由數目塑造出來的,他們認為在整個自然界中數目是最初的,數目的元素也就是所有存在物的元素。整個的天是和諧的,是數目。[6]

畢達哥拉斯認為數學結構是理解世界的基礎,數揭示了事物的真正本質,物質的最終結構或存在就是它的數學形式。只要掌握了數之間的關系或比例,自然界就是合乎理性的。羅素說:“數學,在證明式的演繹推理意義上的數學,是從他開始的;……由于他的緣故,數學對于哲學的影響一直都是既深刻又不幸的。”[7]公元前3世紀后,希臘數學思想一度出現了從哲學數學向科學數學轉化的趨勢。丹皮爾寫道:

哥白尼與刻卜勒雖然仍在數學的和諧中尋找最后因,并且在牛頓的時代以后很久,這個思路還是存在著,往往以為在每個現象可以用數學方式從量上加以表示以后,這個現象就算既得到了科學上的解釋,也得到了哲學上的解釋了。[8]

從哥白尼、牛頓到愛因斯坦,許多科學家都在不斷追求事物之間簡單、有序與和諧的關系,并努力以精確定量的方式來建立統一的理論。例如一旦形成了萬有引力的概念,宇宙間就沒有牛頓定理不起作用的地方。萬有引力定理導致了后來一系列天文學上的新發現。愛因斯坦說:

從那些看來同直接可見的真理十分不同的各種復雜的現象中認識到它們的統一性,那是一種壯麗的感覺。[9]

萬有引力理論的普遍性達到了宇宙的邊緣,從蘋果到月亮,從太陽到星系,凡有引力參與的一切復雜現象,無一不可歸結到這條簡潔而令人驚嘆的定理之中。正如李約瑟所言:“主張一個木球和一個不知道由什么物質組成的星星之間的共同之處,要比一個球的不同性質之間的共同之處要多得多。這種假說必須是數學上的假說,這點極其重要。”[10]

3 天體的音樂——數量比例與宇宙和諧

算術、幾何、音樂、天文學在古希臘被認為是超然于塵世的“自由藝術”,在畢達哥拉斯學校里,這四門學科被列為基本課程,統稱為“四藝”。對此,弗賴登塔爾說:

mathematics 一詞看來是一個復數名詞……。的確,在很久以前它確實表示復數……數學曾經是四門學科:算術、幾何、天文學和音樂,處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。[12]

M·克萊因指出:“那些堅信數學僅僅具有使用價值的學者,經常自以為是地認為,歷史上的數學活動靠實際需要的推動,不可能存在什么來自邏輯的推動(理論的推動)。……在大海中迷航的水手,絕不會突然意識到觀察星星可以解決他的航海問題。”他說:

在天文學和數學用于計算歷法和航海之前,……那時的人類受不可抑制的哲學精神的驅使,耐心地觀察太陽、月亮和星星的運行。……終于從他們的觀察中畫出了天體運行的圖像。[1]17

中國天文學家陳遵媯也認為:“至于航海的需要,對我國天文學的發展,似乎沒起過什么促進作用。”[13]對于絕大多數純粹的數學家而言,他們工作的最終目標在于揭示數學世界的奧秘,至于其結果是否有用以及如何應用,似乎并不是他們關心的主要問題。《何為科學真理》一書的作者寫道:

希臘人稱奧菲士懷著這樣的感情彈奏豎琴,連野獸都會被他馴服。他們沒有提到他是為了做一名訓獅員才獲得這一才能的。[14]

布羅諾夫斯基說:“威力只是認識的副產物。”同樣,中國的庖丁其游刃有余的解牛技藝達到了“依乎天理”的高度,面對這種由“技”至“道”的境界,沒有人會認為他只是一個屠戶!

畢達哥拉斯將天文學和音樂“歸結”為數,他認為算術是研究絕對的不連續量;音樂(實為樂理)研究相對的不連續量;幾何研究靜止的不連續量;天文研究運動的連續量。到了中世紀,算術、幾何、音樂、天文加上文法、修辭和邏輯,便構成了歐洲教育史上著名的“七藝”。無獨有偶,中國也有古代文人“四藝”(棋、琴、書、畫),貴族“四術”(詩、書、禮、樂),儒家“六藝”(禮、樂、射、御、書、數)等教學內容。

羅素認為:“數學里的‘調和中項’與‘調和級數’就仍然保持著畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯系。”之所以能把音樂歸結為數與數之間的簡單關系,是因為他們發現了下列兩個事實:第一,弦所發出的聲音取決于弦的長度;第二,兩根繃得一樣緊的弦,若一根是另一根的兩倍,就會產生諧音。普希金曾在一首詩中寫道:

我用代數

檢驗了和諧

我們就相互理解了[15]

古希臘哲學家不僅“聲言隱藏在自然界不斷變化的萬象之下的真實性是可用數學來表示的,而且認為這個世界上所發生的一切是由數學規律嚴格確定了的。”[16]萊布尼茲在1712年致霍爾巴赫的信中說:音樂是不知道自己在演算自己的思維的算術練習。詹姆斯寫道:

對于柏拉圖、西塞羅和經院哲學學者們來說,天體的音樂相當真實(即使我們知道沒有人聽到過它),但是,它僅包含音階。我們知道,和諧的古典概念是連續的;和諧被人們理解為兩個聲調之間的抽象關系而不是耳朵所能聽到的一個單一的一致。[17]134

無論是音調、音色還是和聲,都可以利用數學對其進行測量和分析。音律的計算在中國同樣受到高度的重視,而且歷史更為悠久。據先秦古籍《世本》載:“黃帝使羲和占日,常儀占月,臾區占星氣,伶倫造律呂,大撓作甲子,隸首作算術,容成綜此六術而著《調歷》”。可見,占卜、樂律、天文、計量、算學在中國古代同樣也是被當作關系密切的學科群,但卻統一于“歷學”名下。《尚書·堯典》說:“協時月正日,同律度量衡”的記載。《呂氏春秋?大樂》亦云:“音樂之所由來者遠矣。生于度量,本于太一。”[18]所謂“生于度量”即指律管的長度、容積等數量關系。《大戴禮記》載:

截十二管,以定八音之上下清濁,謂之律。律居陰而治陽,歷居陽而治陰,律歷疊相治也,其間不容發。

我國早在西周時期已掌握了十二律(陰陽各六)和七聲音階的知識。《月令章句》說:“古之為鐘律者,以耳齊其聲。后不能,則假數以正其度,度數正則亦正矣。”到了春秋時期則使用“三分損益法”確定律管長度與音調的關系。所謂“三分損”,即在制定“六律”的過程中,將律管的長度變為原先的2/3;“三分益”則是其將長度變為原來的4/3。《史記·律書》中對此有詳細記載:九九八十一以為宮。三分去一,五十四以為征。三分益一,七十二以為商。三分去一,四十八以為羽。三分益一,六十四以為角。

據考古研究,中國樂律的起源至少可以追索至距今8000 多年前。河南舞陽賈湖遺址出土了25件距今8000 多年的骨笛(丹頂鶴尺骨),可分為五孔、六孔、七孔和八孔笛,其制作都是經過了精心的計算。在中國國家博物館收藏的一只骨笛上還保留了當時開孔時的設計刻痕,可以明顯看出設計修改的過程。[19]馮時指出:“實際測音的結果顯示,所存律管已備八律,且音孔設計之計算方法顯然已涉及到復雜的分數運算,足以證明其時算數之學已經達到了相當高的水平。”[20]正是樂律、歷法、數學、天文的完美結合形成了中華文明極富特色的“律歷合一”思想。

明朝學者朱載堉被公認為中國“律歷合一”學說的集大成者。他在《算學新說·序》中寫道:“所撰新說凡四種,一曰律學,二曰樂學,三曰算學,四曰韻學,前二者其書之本原,后二者其書之支派。所以羽翼其書也。”朱載堉首創十二平均律,取為公比,使得相鄰兩律間的頻率完全相等,這一發現比歐洲早了半個世紀。今天對于音樂與數學是一對孿生姊妹的看法,不僅中國人感到匪夷所思,就連歐洲人也難以理解。杰米·詹姆斯寫道:

音樂和科學之間相交叉的領域,在西方文明開始的地方開始,當時兩者曾被如此深深地認同,以至任何認為在它們之間有什么本質區別的人都被看作是毫無知識的人,而到了今天,當有人提出它們之間有什么相同的地方的時候,就會冒被一些人貼上俗人而被另一些人貼上業余藝術愛好者標簽的危險——并且,最該詛咒的是,兩者都是大眾化的人。[17]1

畢達哥拉斯學派堅信行星運動也受數學關系的支配。他們認為運動得快的物體,將比運動得慢的物體發出更高的音。行星離地球越遠,則運動得越快,因此行星發出的聲音與其到地球的距離有關。美國數學家和科學史家卡約里說:

畢達哥拉斯關于和聲和音階的思辨是不受對實驗深入探索的約束的。7 顆行星是七弦琴的7 根弦,他給我們一種美麗的“天體和諧”。這種思想不是作為詩歌而是作為物理哲學提出來的。人們的耳朵不能聽見這種行星間的音樂事實,似乎并未減少對它存在的信念。[21]

既然行星在宇宙空間運動時會發出和諧的“聲音”,那么它們離地球的遠近也必然符合相應的比例,這就是西方著名的“天體和聲”的典故。

哥白尼建立日心說之后,開普勒堅信上帝是依照完美的數學原則創造世界的,他曾利用5 種正多面體之間的幾何關系來表示當時所知六大行星的軌道半徑。天空中剛好有5 顆行星,而幾何學中也只有5 種正多面體,若將它們的內切與外接球結合起來,正好可以形成六個同心球相互嵌套的結構(太陽位于球心)。盡管開普勒的模型被天文觀測證明是錯誤的,但他高超的數學才能和奇特的創意,卻引起了天文觀測家第谷的注意,并邀請他做助手。這正是后來開普勒得以發現行星運動“三大定律”的契機。

天體“和諧運動”的思想,兩千多年間始終激勵著無數西方學者的好奇心。直到18世紀后期德國學者提出的“提丟斯—波得定則”,依然引起了眾多科學家的關注與爭論。據說提丟斯在給學生講授各大行星到太陽的平均距離時,同學們總是記不住,他便想出了如下辦法,取數列:

0,3,6 ,12 ,24,48,96,192,…

將其中的每一項加上4,再除以10,便得到各個行星到太陽的平均距離(天文單位):0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6……水星 金星 地球 火星? 木星 土星?

1872年德國柏林天文臺臺長波德將它公開發表。因此稱為“提丟斯—波得定則”。就在該法則公布不久,天文學家赫歇爾發現了天王星(距太陽19.2 個天文單位),皮亞齊發現了位于小行星帶上的第一顆天體——谷神星(高斯利用自己發明的“最小二乘法”計算出其軌道半徑距太陽約為2.77 個天文單位)。令人驚奇的是它們的位置都與提丟斯法則所預言的極為吻合,故而引發了學者們的極大興趣。

4 物質實體與數學的關系——揭示自然秩序的鎖鑰

早期希臘自然哲學提供了科學思想的兩大傳統:一個是由泰勒斯開創的實體論構成綱領;另一個是由畢達哥拉斯開創的結構論的形式主義研究綱領。泰勒斯的名言是“萬物源于水”,這個看似平凡的說法包含著科學思想的精髓。首先,它表現了對世界統一性的把握;其次,它指出了把握世界統一性的方式在于找出其“始基”。在這個綱領之下,古希臘人分別找出了水、火、氣、土作為萬物構成的基礎。畢達哥拉斯學派認為正是數量上的差異和幾何結構上的差異導致了事物本質的不同,因為始基永遠是均勻同一的,即使找到了也無法解釋自然界中復雜多樣的事物;而數學形式本身即具有無窮多的樣式,用它來描述萬物的不同,則不存在本質的困難,更具說服力。正如塞路蒙·波克納所言:

無論數學的出現多么神秘,數學確實是最先出現的理性知識,這是整個西方文明的一個有意義的特性。[22]

據普羅克拉斯說:“畢達哥拉斯學派把數學研究變成一種自由教育的形式,從頭來檢驗它的原理。”他們獨立地、系統化地在數學中運用推理證明的邏輯方法,證明了平面幾何、立體幾何、算術及數論中的基本定理,從而使數學理論從諸如大地測量、計算這樣的實踐活動中分離出來。數學定理的證明開辟了人類思維用抽象概念進行論辯和演繹的一個全新領域。古希臘數學家所要建立的是受到普遍論證支持,范圍廣泛、條理清晰的理論。譬如我們說數學中的某一陳述是真的(三角形內角和等于180 度),與日常生活中說某一具體事物是真的(泰勒斯是哲學家),這兩者無論思維方式還是認識意義都是有所不同的。

留基伯和德謨克利特相信所有物質都由原子組成,原子作為構成物質實體的基本單元是不可分割的、極小的、數目無限的微粒,這些微粒有大小、形狀和重量三種屬性。原子論者贊同用形和數的關系對自然進行解釋,他們同樣宣稱世界所發生的一切是由數學定律嚴格決定的。該學派關于宇宙本原及數學無限性問題的探討,對后世也產生了較大的影響。亞里士多德認為:

甚至更早的時候,所謂畢達哥拉斯學派的人與留基伯和德謨克利特同時從事數學研究,并且第一個推進了這一個知識部門。他們把全部時間用在這種研究上,進而認為數學的始基就是一切存在物的始基。[23]

作為物質微粒的點與數學的點當然不同,但是“原子論綱領”的一個更重要方面是宏觀層次的質變還原為原子層次的量變。因此,當原子論者企圖解釋“數學量”的變化時,就會以數學原子的形式,通過它的量變來加以回答。據說德謨克利特曾經利用原子論思想,將整體分割成微小的部分,再以這些微小的部分相加得到整體的研究方法,求出一些空間幾何圖形的體積。例如,他曾將圓錐看作是一系列不可分割的薄層疊加而成,從而發現其體積為同底等高圓柱體的三分之一。瓦托夫斯基指出:“沿著原子論方向的這些物理思辨被一種數學傳統所補充,該傳統以一種在結構上更為精致的方式來表述原子論。在這一出自畢達哥拉斯學說的傳統中,這些元素并不被當作是可以理解或感覺的物質實體;而被認為是概念上的存在,思維的對象。”

弗朗西斯·培根說:“應當指出,對自然的探究如果始于物理學而終于數學,那就會有最好的結果。”[24]近代科學正是在追求自然界的數學規律中取得長足進步的,可以說,許多重大的成就都是由于發現了或運用了新的數學規律才取得的。M·克萊因寫道:

希臘人對了解自然界有那么一股迫切而不可遏制的愿望,推動他們創造和看重數學。數學是對自然界進行研究的本身工作之一,是了解宇宙的鑰匙,因為數學規律是宇宙布局的精髓。

正是數學概念和數學模型的“理想化”觀點,促進了古希臘經典力學和天文學的發展,也為后來文藝復興時期的科學和技術取得進步奠定了基礎。其實,利用形式的不同解釋事物本性差異的思維方式,在中國女媧造人的古老神話傳說中,也有著生動的表現:

俗說天地開辟,未有人民,女媧摶黃土作人。劇務,力不暇供,乃引繩于泥中,舉以為人。故富貴者,黃土人;貧賤者,引縆人也。

據這一傳說故事所言,所有的人都是由質料相同的黃土組成,但其貧賤富貴的根源,正是由于他們所獲得的“人形”這一關鍵之處存在差異。因為女媧娘娘對每個人的制作,在精細程度上有所不同,所謂“富貴之人”是她親手用黃土捏成的;“貧賤者”則是用繩索在泥漿中彈射出來的。看來,女媧造人這一古老的神話傳說所蘊含的觀念,與西方“數學形式決定事物本質”的哲學思想還真有異曲同工之妙。

5 結語

數學作為人類文化的重要組成部分,始終在追求最簡潔而又超出人類感官所及的宇宙本原。和諧與秩序是希臘哲人的根本性觀念,在他們所創造的一切偉大成就之中,數學毫無疑問是奇跡中的奇跡;古希臘數學所強調的形式邏輯、演繹法、證明、公理化體系等,堪稱那個時代地球上最輝煌燦爛的人類文明之花。

“物質實體”加“形式法則”的模式是現代科學思維的核心特征。理論預言的正確性,是由實驗驗證的,理論必須與測量值建立聯系,才能反映客觀世界的規律。任何一個物理概念,只有在能進行實際測量時,才是真實而豐富的,否則就是虛假而空洞的,這就是科學實驗的精華;為了同測量結果相比較,就需要在統一性的觀點下不斷朝著對自然界進行數學分析的方向探索,并通過數學的語言與方法來理解和表達自然規律。文德爾班說:

按照“本原”這個術語應用于各種不同的“物質”、元素之類的東西而言,數目不能叫做萬物的本源,他們也沒有忽視這樣的事實:萬物不是產生于數目,而是按照數目構成的。當他們說,萬物是數的模寫或摹擬,這也許就是他們表現他們的思想的最好、最積極意義的說法了。按照這個概念,數學形式的世界被看作是更高、更根本的現實。[3]69

說數即萬物當然是荒謬的,但若說事物所遵循的規律是符合數學關系的,則相當正確。愛因斯坦認為西方科學的發展是以歐幾里得幾何中的邏輯,以及文藝復興之后才興起的系統實驗為基礎的。這種深邃的洞察力,令人嘆為觀止!他評價牛頓萬有引力定律是“用數學的思維,邏輯地、定量地演繹出范圍很廣的現象,并且能同經驗相符合。”數學作為一門橫斷科學,既是精確表述世間萬物的語言,也是探索宇宙奧秘的鎖鑰。

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