淺談裂項相消的本質

江敬恩

數列是高中必修內容，大學高數里面也會涉及數列問題，學好數列，不僅是高考，乃至大學都是非常受用的;數列里面的求和問題，往往出現在高考數列大題的第二小問，不論是地方卷還是全國卷，對數列的求和而言，考的方法有很多，比如：倒序相加法、分組（類）求和法、公式法、錯位相減法等，常見的、用的最多的非錯位相減法、裂項相消法莫屬，本文主要從裂項的本質來看裂項相消的。

對常見的裂項相消，無非通項公式是分式型或者根式型，對通項公式是分式結構的式子，一般處理方法是直接撕開，然后再通分回去，多了就除掉，少了就乘上;對根式型通項公式，我們的處理方法是乘上相應的對偶式，構造平方差公式即可，式子結構雖有差異，但是其核心是不變的。我們來看幾道例題

以上幾種情況是筆者對裂項相消法的整理，這幾種類型的題目都反映了一個核心的問題，那就是對通項公式是分式類型或者根式型求和問題，我們的目的是把它裂成能互相抵消的遞推式，與裂項相消并存的另一大求和方法（錯位相減法），此法因為計算量大，對很多學生造成了很大困擾，那么它是否能和裂項一樣，減少計算量，達到事半功倍的目的？網絡上也有一些對此法做出的說明，但筆者想從裂項的本質來闡述自己的看法，有不對的地方，請指正。